Teorema del valor medio para demostrar
me orientan por favor ocmo realizar esta demostracion en el intervalo [2,5]
1 respuesta
Respuesta de Alejandro Salazar
El teorema de valor medio dice que si una función es continua en [a, b] y derivable entonces
Cumple que existe al menos un punto c en ese intervalo tal que
$$\begin{align}&\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\end{align}$$Por lo que nos dice el enunciado
$$\begin{align}&1\leq f'(c) \leq 4\\&1\leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq 4\\&\end{align}$$Y ahi ya lo tienes
buenas tardes, no entiendo como la definición en el segundo ejemplo ,demostrar 3 <= f(5)-f(2)<= 12
agradecería tu explicación
En los comentario se lo explique a Andrea, lee a ver si así lo comprendes, si no, me avisas.
No entiendo la relación del segundo ejemplo con con la demostración que pide el enunciado ,seria de gran ayuda si me explicaras - Andrea perez
No hay problema. El primer recuadro muestra lo que nos dice el teorema del valor medio, que en palabras significa que si eliges un intervalo, y la función es continua en ese intervalo. Lo que puedes hacer es con una línea unir los dos extremos y lo que nos dice el teorema es que existe un punto(lo llamaremos c) en ese intervalo cuya pendiente de la recta tangente es igual a la pendiente de esa línea que trazamos, que coincide recordando conceptos con la derivada en ese punto.El enunciado dice que para toda x en el intervalo [2,5] se cumple que 1< f'(x)< 4. Y ya que c pertenece al intervalo, tambien debe cumplir esa desigualdad 1<f'(c)<4. - Alejandro Salazar
Pero por el teorema del valor medio, sustituyendo los extremos por sus valores numéricos tenemos1<(f(5)-f(2))/(5-2)< 4. Yo no sustitui los extremos, deje que la persona lo hiciera. Pero a partir de ahí, 5-2 = 3, y multiplicando la desigualdad nos queda en 3<f(5)-f(2)<12 - Alejandro Salazar