Casero me quiere cobrar todo el mes de marzo a pesar de que dejo el piso el día 15

Ayer día 12 avise a mi casero que el día 15 de marzo dejaré el piso en el que llevo de alquiler 4 años porque me han traslado en el trabajo a otra provincia. Le avise con un mes de antelación como dice la ley.

Le dije que al dejar el piso a mitad de mes, sólo le abonaria la mitad de la mensualidad del mes de marzo, ya que dejo el piso el día 15, pero me ha dicho que no, que aunque deje el piso a mitad de mes le tengo que pagar el mes entero.

¿Esto es así? Yo tenía entendido que si te vas antes de que termine el mes solo pagas la parte proporcional al tiempo que vas a estar.