Mientras estás con el paro, el pago de la cotización la hace el propio SEPE. En esta página viene más información al respecto.
En cuanto a cobrar el paro, NO podrás cobrarlo si te vas voluntariamente, salvo en unos supuestos:
- Movilidad geográfica del centro de trabajo: cuando el empleado renuncia porque le trasladan geográficamente y tendría que cambiar de domicilio.
- Modificación sustancial de las condiciones de trabajo: cuando el empleador hace modificaciones sustanciales en el puesto del trabajador.
- Impago o retrasos reiterados en el pago de las nóminas: para los casos en que lleve tiempo sin cobrar.
- Las mujeres maltratadas víctimas de violencia de género: podrán renunciar para mantener su seguridad y evitar que el maltratador las encuentre.
En este post comento ese tema más detalladamente. Para cobrar el paro fuera de esos supuestos, deberás conseguir otro trabajo mínimamente perdurable, es decir, no valen contratos cortos (de un día, contratos por horas, etc). No hay una norma expresa, sino que el SEPE estudia caso a caso, y analiza que el trabajador haya estado al menos 2-3 meses en otro sitio.