¿Puedo entrar en el conservatorio?

No es necesario tener nada aprobado para poder entrar en el conservatorio en algún curso del grado medio. Hay un periodo para apuntarse a las pruebas de acceso; no sé si será el mismo en todos los conservatorios, pero en los que yo conozco ya ha sido (suele ser por mayo o junio). Cada curso tiene unos requisitos que se publican en la página web de los conservatorios, en cuanto a conocimientos, dificultad de las obras, etc. Tú echas la solicitud para el curso que sea, haces el examen, y si lo apruebas puedes matricularte en ese curso (tienes que hacerlo en ese mismo curso académico, ya que no te guardan el resultado para otros años).
Hasta donde yo sé la edad no es un problema. Sólo lo es para empezar de cero desde 1º de grado elemental, porque ahí sí tienen preferencia los alumnos de 7 años, luego los de 8, etc. (a menos que lo hayan cambiado recientemente).

No importa la edad. Pero te aconsejo que busques un profesor que te guste primero en un Conservatorio Elementalo Grado Medio que este cerca si es posible.
Te harán una prueba de admisión para ponerte en el grado que te corresponde para piano.
Buena Suerte,
Felipe

Primero, la edad no es impedimento,.
Segundo. Acercate a un profesor particular para que te haga una evaluación personal con respecto a tu nivel, te aconseje a que curso postular, y te guie con respecto al repertorio.
Tercero, sin duda lo más recomendable es que te acerques al conservatorio y preguntes con algún encargado o profesor.
Puedes entrar a cursos superiores siempre que tengas el nivel adecuado al cual deseas entrar.

Lo mejor que puedes hacer es entrar en la página web de tu comunidad autónoma, y enlazar con Educación. Ahí tienes la oferta educativa que ofrece tu comunidad. Buscas la opción de música y te vendrá todo. Yo hace muchos años que terminé el conservatorio y no sé si realmente funciona así, además yo estudié en el plan 66, anterior a la Logse, y todas estas cosas han cambiado. Pero por lo que tengo entendido, si quieres acceder al Conservatorio creo que debes hacer una prueba de acceso, indicando el nivel que te han dicho que tienes. El tribunal que te examine comprobará si tu nivel, comparándolo con el que ellos tienen marcado en el Conservatorio, es acorde con el que te han dicho tener. Si lo tienes y hay plazas vacantes, te ofrecerán una para poder estudiar en el Conservatorio en el curso al que quieres ir. Si no lo tienes te informarán del curso al que puedes acceder. Por ejemplo, si tu optas a ir a tercero de Grado Medio, y ellos te examinan y creen que estás para ir a primero o a quinto o al que sea, pues te ofrecerán una plaza, si la hay vacante, en el curso que ellos crean que te irá mejor. Te digo esto desde la poca información que tengo al respecto, ya que como te digo, estudié en otro plan de estudios y esto no funcionaba así, de modo que lo poco que sé es porque he leído algo sobre el asunto. Te repito que lo mejor que puedes hacer es lo que mirar en la página web de tu comunidad autónoma y te vendrá toda la información, incluso puedes ir al Conservatorio en el que quieras estudiar y pedir información al respecto.

Bien, vamos a intentar responder a tu pregunta:
En primer lugar, tienes que hacer una prueba de acceso a Grado Medio (creo que ahora se llama Grado Profesional) y luego, depende del conservatorio, puedes hacer una prueba al curso que quieras.
Para prepararte para la prueba no sólo serás examinado/a de piano, sino también de lectura (rítmico-melódica en varias claves), teoría (intervalos,...) y de un dictado (rítmico, rítmico-melódico,...)
Una vez la pases, tendrás que estudiar las asignaturas de los cursos que quieras pasar para poder aprobar. Si te presentas a 4º, tienes un problema: la armonía, una asignatura relativamente difícil, de la que necesitarás profesor.