Tercera Ley de Kepler
Estudio segundo de Físicas y me han mandado hacer un trabajo no muy largo y profundo de por que los cuadrados de los tiempos siempre son proporcionales a los cubos de las distancias, como dice la tercera ley de Kepler.
1 Respuesta
Respuesta de hiperion
Va a ser un poco difícil explicarse por aquí, pero intentaré hacerlo lo mejor posible.
Primero recordarte la ecuación focal de una cónica:
r = p/(1 + ecos(theta))
Donde 'r' es el radio vector con origen en un foco, 'theta' es el parámetro con el que recorremos la curva, 'e' es la excentricidad y el parámetro p es igual a h^2/(GM) (para una órbita elíptica) donde h es el momento cinético por unidad de masa.
Además conviene saber las siguientes relaciones:
a= p/(1 - e^2) (a= semieje mayor)
b= p/((1 - e^2)^(1/2)) (b= semieje menor)
c= ae
Sabemos que la velocidad areolar es el área barrida por unidad de tiempo, (la escribiremos como VAR). Por lo tanto VAR·T será el área de la elipse (siendo T el periodo)
Entonces:
VAR·T = S = (pi)a·b = (pi)a(a·p)^(1/2) = (pi)a(a·h^2/(GM))^(1/2)
Por otro lado sabemos que VAR = h/2 (recuerda que h es el momento cinético por unidad de masa r por v, y en esta demostración estamos usando su módulo, como el de la velocidad areolar )
Entonces: h·T/2 = (pi)a(a·h^2/(GM))^(1/2)
Y el h se cancela con el h^2 que hay dentro de la raíz, con lo que nos queda:
T= 2(Pi)a(a/(GM))^(1/2) que es la tercera ley de Kepler.
Primero recordarte la ecuación focal de una cónica:
r = p/(1 + ecos(theta))
Donde 'r' es el radio vector con origen en un foco, 'theta' es el parámetro con el que recorremos la curva, 'e' es la excentricidad y el parámetro p es igual a h^2/(GM) (para una órbita elíptica) donde h es el momento cinético por unidad de masa.
Además conviene saber las siguientes relaciones:
a= p/(1 - e^2) (a= semieje mayor)
b= p/((1 - e^2)^(1/2)) (b= semieje menor)
c= ae
Sabemos que la velocidad areolar es el área barrida por unidad de tiempo, (la escribiremos como VAR). Por lo tanto VAR·T será el área de la elipse (siendo T el periodo)
Entonces:
VAR·T = S = (pi)a·b = (pi)a(a·p)^(1/2) = (pi)a(a·h^2/(GM))^(1/2)
Por otro lado sabemos que VAR = h/2 (recuerda que h es el momento cinético por unidad de masa r por v, y en esta demostración estamos usando su módulo, como el de la velocidad areolar )
Entonces: h·T/2 = (pi)a(a·h^2/(GM))^(1/2)
Y el h se cancela con el h^2 que hay dentro de la raíz, con lo que nos queda:
T= 2(Pi)a(a/(GM))^(1/2) que es la tercera ley de Kepler.
