Determinar la altura de un cono inscrito en una esfera y la razón de cambio del área de una onda

Si h es la altura del cono inscripto en la esfera de radio 12, el radio de la base del cono es
r=[12^2-(12-h)^2](1/2)
El área lateral es
AL=(1/2)r h
AL=(1/2)[12^2-(12-h)^2](1/2)h
Esta es la función a maximizar
Pero pero es mejor multiplicarla por dos y elevar al cuadrado.
Es decir AL sera máxima cuando
f(h)= 4 AL^2
Sea máxima
Entonces es
f(h)=[12^2-(12-h)^2] h^2
f(h)=[12^2-(12-h)^2] h^2
f(h)=24 h^3- h^4
f´(hmax)=72 h^3- 12 h^2=0
De donde hmax= 72/12=6
Es el valor de la altura que da la máxima área lateral
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La onda en el estanque forma un circulo
El área del circulo es
Pi R^2
La derivada con respecto a el radio es
2 Pi R
(Coinciden con la longitud de la circunferencia porque cuando aumento un poquito el radio se agrega una superficie con forma de corona circular cuya área es la long de la circ por la variación del radio)
Bueno, estábamos en que
2 Pi R
Es la variación del área con respecto al radio.
5m/seg es la variaciondel radio por unidad de tiempo
entonces por la regla de la cadena la derivada del área con respecto al tiempo es la derivada del área con respecto al radio por la derivada del radio con respecto al tiempo ( lo que por otra parte es bastante lógico). Es decor la razón pedida vale
2 Pi R 5 m/s = 10 Pi R m/s
Con el radio en metros la razón me dará en m^2/seg