Anónimo
Halla el área y el volumen del tronco de cono
Si giramos un trapecio rectángulo de área 120 cm^2 alrededor de su altura, obtenemos un tronco de cono cuya bases tienen de área 201 y 78,5 cm ^2 respectivamente.
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Respuesta de futuralter
1
Ooohh que facil, aqui la web que mas ayuda ..
http://www.vitutor.net/2/2/32.html
Solo basta verlo paso a paso y lo entenderás...
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Primero vamos a deducir las fórmulas
Para hallar la generatriz es fácil, es como el apotema pero pra este caso de figuras geométricas curvas, ¿y cómo hallábamos el apotema?, generando un triangulo rectángulo, donde el apotema era la hipotenusa y la altura un cateto y el otro cateto el radio de la base
Como el tronco posee 2 bases con diferentes radios, hay que efectuar una resta
R-r, este es un cateto, el otro es la altura, y la hipotenusa es la generatriz
(R-r)^2 + h^2 = g^2
El area lateral es como hallar la misma area del trapecio que genero el tronco de cono
Area lateral = (2*pi*R+ 2*pi*r)*g
..................................2
Area lateral = (pi*R + pi*r)g
Area lateral = (R + r)*pi*g
Para el area de las bases,eso es facil:
AB=pi*R^2
Ab=pi*r^2
entonces area total del tronco conico es:
AT=(R + r)*pi*g + pi*R^2 + pi*r^2
V=(1/3)*h*pi*(R^2 + r^2 + R*r) ,se asemeja a volumen de una piramide
Para hallar la generatriz es fácil, es como el apotema pero pra este caso de figuras geométricas curvas, ¿y cómo hallábamos el apotema?, generando un triangulo rectángulo, donde el apotema era la hipotenusa y la altura un cateto y el otro cateto el radio de la base
Como el tronco posee 2 bases con diferentes radios, hay que efectuar una resta
R-r, este es un cateto, el otro es la altura, y la hipotenusa es la generatriz
(R-r)^2 + h^2 = g^2
El area lateral es como hallar la misma area del trapecio que genero el tronco de cono
Area lateral = (2*pi*R+ 2*pi*r)*g
..................................2
Area lateral = (pi*R + pi*r)g
Area lateral = (R + r)*pi*g
Para el area de las bases,eso es facil:
AB=pi*R^2
Ab=pi*r^2
entonces area total del tronco conico es:
AT=(R + r)*pi*g + pi*R^2 + pi*r^2
V=(1/3)*h*pi*(R^2 + r^2 + R*r) ,se asemeja a volumen de una piramide
Ahora debemos hallar el radio de cada base y luego la altura y generatriz
AB=201 cm2...............................Ab=78.5 cm2
pi*r^2 = 201...............................pi*r^2 = 78.5
r= 8 cm aprox...r = 5 cm aprox, yo lo aproxime, si gustas puedes considerar sus decimales, en e primero es 7.998.., en el segundo r = 4.998..., el error es por el pi, que todo lo hice con calculator.
Area trapecio = 120 cm2
(R+r)*h/2 = 120
(8+5)*h = 240
h = 240/13
h = 18.46 cm aprox
Entonces :
g^2 = (R-r)^2 + h^2
g^2 = (8-5)^2 + 18.46^2
g^2 = 9 + 340.77
g^2 = 349.77
g = 18.70 cm aprox
Ahora hallamos el area total
AT=(R + r)*pi*g + pi*R^2 + pi*r^2
AT=(8 + 5)*pi*18.70 + pi*8^2 + pi*5^2
AT=243.1*pi + 64*pi + 25*pi
AT=332.1*pi
AT=1043.323 cm2 aprox
Ahora hallamos el volumen del tronco conico
V=(1/3)*h*pi*(R^2 + r^2 + R*r)
V=(1/3)*18.46*pi*(8^2 + 5^2 + 8*5)
V=(1/3)*18.46*pi*129
V=18.46*pi*43
V=793.78*pi
V=2493.733 cm3 aprox
Y eso es todo, la deducción del área fue fácil, la del volumen también lo es, pero requiere escribir mucho
AB=201 cm2...............................Ab=78.5 cm2
pi*r^2 = 201...............................pi*r^2 = 78.5
r= 8 cm aprox...r = 5 cm aprox, yo lo aproxime, si gustas puedes considerar sus decimales, en e primero es 7.998.., en el segundo r = 4.998..., el error es por el pi, que todo lo hice con calculator.
Area trapecio = 120 cm2
(R+r)*h/2 = 120
(8+5)*h = 240
h = 240/13
h = 18.46 cm aprox
Entonces :
g^2 = (R-r)^2 + h^2
g^2 = (8-5)^2 + 18.46^2
g^2 = 9 + 340.77
g^2 = 349.77
g = 18.70 cm aprox
Ahora hallamos el area total
AT=(R + r)*pi*g + pi*R^2 + pi*r^2
AT=(8 + 5)*pi*18.70 + pi*8^2 + pi*5^2
AT=243.1*pi + 64*pi + 25*pi
AT=332.1*pi
AT=1043.323 cm2 aprox
Ahora hallamos el volumen del tronco conico
V=(1/3)*h*pi*(R^2 + r^2 + R*r)
V=(1/3)*18.46*pi*(8^2 + 5^2 + 8*5)
V=(1/3)*18.46*pi*129
V=18.46*pi*43
V=793.78*pi
V=2493.733 cm3 aprox
Y eso es todo, la deducción del área fue fácil, la del volumen también lo es, pero requiere escribir mucho