Dudas sobre voltaje y cómo obtener 220 voltios. ¿Cómo trabajan las máquinas de España y de Ecuador?

Desconozco el caso concreto de Ecuador, pero lo normal a nivel mundial, es que la distribución eléctrica se realice con sistemas trifásicos. Por lo tanto, en baja tensión, se tienen normalmente 3 conductores de fase más uno de neutro (4 en total). En alta tensión (transporte), se prescinde del conductor de tierra.
Ademas, las leyes de Kirchoff para tensión y para corriente son distintas, ya que una se refiere a mallas y la otra a nodos.
Para poder explicarte correctamente, tendría que entrar en demasiados detalles técnicos y matemáticos sobre sistemas trifásicos, generación, etc.
Importante es aclarar que, si bien la tensión entre fase y neutro es 110Vca, no significa que la tensión entre fase y fase sea 220Vca. Las tensiones son alternas (60hz según dices) y por ser un sistema trifásico están defasadas 120 grados eléctricos. Por lo tanto, la tension eficaz entre 2 fases es de 110Vca * Raiz(3) = 190Vca. En redes de 220 Vca, como en Argentina, la tensión entre fases es de 380Vca.
En el caso de la soldadora, desconozco que tipo de tensión utiliza de origen. Es posible que estando diseñada para funcionar con 220Vca, aun funcione bien con 190Vca. Si tenia tres patas, lo más probable es que la tercera corresponda a la tierra (conductor de protección).
Dependiendo del tipo de artefacto que usted envíe a Ecuador, podrán salvar el problema de la tensión utilizando transformadores para elevar la tensión de 110 a 220Vca. No pasa lo mismo con la frecuencia, ya que si el equipo no es compatible con los 60 Hz, no va funcionar adecuadamente. Hoy en día son comunes los equipos multitension (admiten desde 100Vca hasta 230Vca). Habitualmente lo equipos puramente electrónicos no tienen problemas con la frecuencia, pero si los equipos electromecánicos (Motores, contactores, etc).

Me has aclarado gran parte de mis dudas,, es decir que a pesas de tener 2 fases de 110/120 v ca,,, no se aplica el sumar el valor de las 2 tensiones,,, si no multiplicar el valor de una de las fases po raíz de 3,¿<te pregunto,,en este caso no es necesario tener un neutro para cerrar circuito,,solo hacemos uso de las 2 fases de 110/120v ca para trabajar?,, TE pregunto,, ¿qué pasaría si llevo las 2 fases de 110/120 a un solo punto?

No, no es indispensable el neutro para cerrar el circuito. Puede cerrar el circuito entre 2 fases, que como ya te mencione existe una diferencia de potencial (tensión) mayor que entre fase y neutro. Solo usaría 2 fases sin neutro, si la carga es monofásica. Es obvio entonces, que si une dos fases en un punto, se produce un peligroso cortocircuito. Tenga cuidado por favor!
Por sus preguntas, parece que tiene un error de concepto con las leyes de Kirchoff (la de corriente y la de tensión). No es lo mismo una corriente que una tensión. No es posible sumar tensiones uniendo cables en un punto. ¿Me explico? Le recomiendo que lea al respecto en la web, hay mucho material y es bastante simple de entender.
Cualquier otra duda me pregunta.