Aplicación de la integral (sólidos de revolución)
Hola, necesito extrema ayuda para el siguiente problema:
La Leminscata (x^2+y^2)^2=(a^2)(x^2-y^2) gira alrededor del eje de abscisas. Hallar el volumen del cuerpo limitado por la superficie engendrada.
Se supone que tengo que sacar mi función, pero en el momento que quiero despejar mi "y" pues se hace algo complicado, necesito que me ayuden a resolver este problema, o si tienen algún material que pueda ser de ayuda, se los agradecería mucho.
La Leminscata (x^2+y^2)^2=(a^2)(x^2-y^2) gira alrededor del eje de abscisas. Hallar el volumen del cuerpo limitado por la superficie engendrada.
Se supone que tengo que sacar mi función, pero en el momento que quiero despejar mi "y" pues se hace algo complicado, necesito que me ayuden a resolver este problema, o si tienen algún material que pueda ser de ayuda, se los agradecería mucho.
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Respuesta de eudemo
1
Para despejar y primero expandimos el cuadrado del binomio:
(x^2+y^2)^2==(a^2)(x^2-y^2)
x^4+ y^2+ 2 x^2 y^2? a^2x^2 + a^2y^2 =0
y^4+ (2 x^2 + a^2 ) y^2- a^2 x^2 + x^4 =0
Como no hay termino en y cubo ni en y se trata de una ecuación bicuadrada es decir una ecuación cuadrática en y cuadrado:
y^4+py^2+q=0
p= (2 x^2+ a^2 )
q= ?a^2 x^2+ x^4
Resolviendo la cuadratica es:
y^2={?(2 x^2+a2^2)+Raíz[(2x^2 + a2^2)^2 +4 a^2x^2-4x^4]}/2
La raíz cuadrada habría que considerarla con doble signo (dos soluciones), pero desechamos el signo negativo porque se trata de y^2 que no pude ser negativa para valores reales de y.
Se pude ver (no me detengo en demostrarlo) que el valor así obtenido de y^2 es positivo.
y^2={?(2 x^2+a2^2)+Raíz[(4x^2 a^2)^2 +4a^2x^2+a^4]]/2
y^2={?(2x^2+a^2)+Raíz[(8x^2 a^2)^2+a^4]}/2
y^2= ?(x^2+1/2 a^2)+1/2 a Raíz[(8x^2)^2+a^2]
Y es la raíz cuadrada de la expresión anterior. Aquí el doble signo de la raíz se corresponde con las dos ramas de la función
y=+-Raiz[?(x^2+1/2 a^2)+1/2 a Raíz[(8x^2)^2+a^2]]
A partir de aquí se puede calcular el volumen de revolución integrado.
(x^2+y^2)^2==(a^2)(x^2-y^2)
x^4+ y^2+ 2 x^2 y^2? a^2x^2 + a^2y^2 =0
y^4+ (2 x^2 + a^2 ) y^2- a^2 x^2 + x^4 =0
Como no hay termino en y cubo ni en y se trata de una ecuación bicuadrada es decir una ecuación cuadrática en y cuadrado:
y^4+py^2+q=0
p= (2 x^2+ a^2 )
q= ?a^2 x^2+ x^4
Resolviendo la cuadratica es:
y^2={?(2 x^2+a2^2)+Raíz[(2x^2 + a2^2)^2 +4 a^2x^2-4x^4]}/2
La raíz cuadrada habría que considerarla con doble signo (dos soluciones), pero desechamos el signo negativo porque se trata de y^2 que no pude ser negativa para valores reales de y.
Se pude ver (no me detengo en demostrarlo) que el valor así obtenido de y^2 es positivo.
y^2={?(2 x^2+a2^2)+Raíz[(4x^2 a^2)^2 +4a^2x^2+a^4]]/2
y^2={?(2x^2+a^2)+Raíz[(8x^2 a^2)^2+a^4]}/2
y^2= ?(x^2+1/2 a^2)+1/2 a Raíz[(8x^2)^2+a^2]
Y es la raíz cuadrada de la expresión anterior. Aquí el doble signo de la raíz se corresponde con las dos ramas de la función
y=+-Raiz[?(x^2+1/2 a^2)+1/2 a Raíz[(8x^2)^2+a^2]]
A partir de aquí se puede calcular el volumen de revolución integrado.
Rasecdrm
Hola.
Hola.
