Función inversa de una función cuadrática

Ya sabrás que geométricamente, la función inversa tiene la gráfica simétrica respeto a la recta y=x de la función original. Es como hacer la imagen es un espejo que es la diagonal.

Entonces esta función que es una U hacia abajo se convierte en una C hacia la izquierda y no surge una función sino una correspondencia porque a cada punto le corresponden dos. He ahí la importancia de tomar solo una parte de la función original para que haya función inversa. Veo que precisamente se ha tomado como dominio

(-infinito, 4/5)

Y eso está bien porque 4/5 es el vértice de la parábola, eso garantiza la existencia de la inversa.

La forma de calcularla es como en todas las inversas, pondremos la ecuación

y = f(x)

y = -5x^2 + 8x + 2

y tendremos que despejar x dejándola sola a la derecha

5x^2 - 8x - 2+y =0

esto es una ecuación de segundo grado, la resolvemos

$$\begin{align}&x=\frac{8\pm \sqrt{64 -4·5·(-2+y)}}{10}\\ &\\ &x= \frac{8\pm \sqrt{64+40-20y}}{10}\\ &\\ &x=\frac{8 \pm \sqrt{104-20y}}{10}\\ &\\ &\text{Sacando un factor 4 de la raíz como 2 fuera}\\ &\\ &x= \frac{4\pm \sqrt{26-5y}}{5}\\ &\\ &\text{Ahora, donde la x se pone }f^{-1}(x)\\ &\text{ y donde la y se pone x}\\ &\\ &f^{-1}(x)= \frac{4\pm \sqrt{26-5x}}{5}\end{align}$$

Y ahora viene lo más complicado para mí, cuál de las dos elegir, la del signo + o la del signo -. Es que nunca me ha tocado hacerlo. Gráficamente se ve fácilmente cual de las dos es pero analíticamente no tanto.

Consiste en tomar un punto y=f(x) y ver cual de ellas hace que esa función aplicada a y nos dé x como resultado

El dominio de f es

(-infinito, 4/5)

Podemos tomar el punto -infinito por ejemplo o el cero que son los más fáciles

f(-oo) = -oo

y debe ser f^-1(-oo) =-oo

Si tomamos el signo + el resultado será + infinito luego no sirve, mientras que si tomamos la función con el signo - si que da -infinito

O lo hacemos con el cero si no lo entendiste

f(0) = -5·0^2 + 8·0 + 2 = 2

f(0) = 2

Y ahora tomamos esas funciones en el 2

La del signo + es

[4+sqrt(26-10)] / 5 = (4+4) / 5 = 8/5

La del signo - es

[4-sqrt(26-10)] / 5 = (4-4) / 5 = 0

Luego la del signo es la válida.

Asi que la inversa es

$$f^-1(x)=\frac{4-\sqrt{26-5x}}{5}$$

Y eso es todo.