Redefinir pregunta
Intentando preguntar de otra manera haré esta pregunta:existe un campo de forma circular en el que esta atada una cabra en un punto cualquiera de su circunferencia(perímetro)¿Qué longitud debe tener la cuerda con la que esta atada la cabra, para que solo pueda comer como mucho la mitad del área de dicho campo circular? Gracias a eudemo por intentarlo. Haber si cambiando la manera de preguntar, queda más claro.
Un abrazo y feliz año
Un abrazo y feliz año
1 respuesta
Respuesta de eudemo
1
Me he despertado esta mañana y me puse a mirar la respuesta que te envié anoche y encontré dos errores involuntarios que con esto de tanto cortar y pegar se me han deslizado. Como, una vez completada la pregunta no puedo comunicarme más con el que la formuló, en este caso contigo, aprovecho esta pregunta que está abierta para mandarte toda la solución sin los errores.
La serpuesta es así:
Busquemos primero la ecuación.
Supongamos que el radio del campo es 1
Llamemos:
R a la longitud de la soga (radio del círculo que recorre la cabra)
A al punto donde esta fijada la soga de la cabra (la estaca)
B al centro del campo.
M y N a los puntos en se cortan las circunferencias
alfa al ángulo MAN
beta al ángulo MBN
El área en cuestión tiene dos partes
1) El sector circular de radio r y ángulo alfa Sea A1
2) Dos segmentos circulares de radio uno y ángulo beta/2SeaA2
1) El área del sector circular vale el radio al cuadrado sobre dos por el ángulo (en radianes)
A1= r^2 alfa/2
2) El área de un segmento circular es el radio al cuadrado sobre dos por la resta del ángulo y su seno.(Es que al sector circular se le quita un triangulo de área r^2. Seno)
El radio ahora es uno y el ángulo beta/2. Entonces el área es:
A2=1/2(beta/2-sen(beta/2)
El área total será
A1 + 2 A2= r^2 alfa/2+(beta/2-sen(beta/2)
El area del campo de radio uno es Pi. El área común hay que igualarla a Pi/2
Entonces
r^2 alfa/2+beta/2-sen(beta/2)= Pi/2
En el triangulo AMB, isósceles AMB=MAB=alfa
Entonces alfa+alfa+beta/2=Pi
De aquí es beta/2= Pi-alfa
Entonces es
r^2 alfa/2+Pi-alfa -sen(Pi-alfa)= Pi/2
r^2 alfa/2+1/2Pi-alfa -sen(alfa)= 0
Esta es nuestra ecuación una vez que pongamos todo en función de alfa o de beta o de r. Pero de cualquier forma que lo hagamos siempre no va a quedar un ángulo más su seno o un valor más un arco seno. Por eso la ecuación es trascendente.(No se puede ´despejar´). .
Pongamos todo en función de alfa. Si llamamos P al punto del campo diametralmente opuesto a la estaca A el triangulo AMP es rectángulo en M .
La hipotenusa mide 2 y el cateto adyacente a alfa mide r.
Entonces r=2cos(alfa/2) por lo que reemplazando nos queda:
[2cos(alfa/2)]^2 . alfa/2+1/2Pi-alfa-sen(alfa)= 0
4 alfa cos^2(alfa/2)+1/2Pi-alfa-sen(alfa)=0
Las cosas que hay que resolver para una cabra no coma de más!! :)
Los métodos numéricos dan alfa=1,90569572932
Reeplazandolo en la fórmula puedes ver la cumple con buena aproximación.
Ahora para hallar r volmemos a:
r=2cos(alfa/2)= 1,15872847301
Ahora si, hasta pronto
Eudemo
La serpuesta es así:
Busquemos primero la ecuación.
Supongamos que el radio del campo es 1
Llamemos:
R a la longitud de la soga (radio del círculo que recorre la cabra)
A al punto donde esta fijada la soga de la cabra (la estaca)
B al centro del campo.
M y N a los puntos en se cortan las circunferencias
alfa al ángulo MAN
beta al ángulo MBN
El área en cuestión tiene dos partes
1) El sector circular de radio r y ángulo alfa Sea A1
2) Dos segmentos circulares de radio uno y ángulo beta/2SeaA2
1) El área del sector circular vale el radio al cuadrado sobre dos por el ángulo (en radianes)
A1= r^2 alfa/2
2) El área de un segmento circular es el radio al cuadrado sobre dos por la resta del ángulo y su seno.(Es que al sector circular se le quita un triangulo de área r^2. Seno)
El radio ahora es uno y el ángulo beta/2. Entonces el área es:
A2=1/2(beta/2-sen(beta/2)
El área total será
A1 + 2 A2= r^2 alfa/2+(beta/2-sen(beta/2)
El area del campo de radio uno es Pi. El área común hay que igualarla a Pi/2
Entonces
r^2 alfa/2+beta/2-sen(beta/2)= Pi/2
En el triangulo AMB, isósceles AMB=MAB=alfa
Entonces alfa+alfa+beta/2=Pi
De aquí es beta/2= Pi-alfa
Entonces es
r^2 alfa/2+Pi-alfa -sen(Pi-alfa)= Pi/2
r^2 alfa/2+1/2Pi-alfa -sen(alfa)= 0
Esta es nuestra ecuación una vez que pongamos todo en función de alfa o de beta o de r. Pero de cualquier forma que lo hagamos siempre no va a quedar un ángulo más su seno o un valor más un arco seno. Por eso la ecuación es trascendente.(No se puede ´despejar´). .
Pongamos todo en función de alfa. Si llamamos P al punto del campo diametralmente opuesto a la estaca A el triangulo AMP es rectángulo en M .
La hipotenusa mide 2 y el cateto adyacente a alfa mide r.
Entonces r=2cos(alfa/2) por lo que reemplazando nos queda:
[2cos(alfa/2)]^2 . alfa/2+1/2Pi-alfa-sen(alfa)= 0
4 alfa cos^2(alfa/2)+1/2Pi-alfa-sen(alfa)=0
Las cosas que hay que resolver para una cabra no coma de más!! :)
Los métodos numéricos dan alfa=1,90569572932
Reeplazandolo en la fórmula puedes ver la cumple con buena aproximación.
Ahora para hallar r volmemos a:
r=2cos(alfa/2)= 1,15872847301
Ahora si, hasta pronto
Eudemo
He tomado tu pregunta del Tablón. La anterior que mencionas no recuerdo haberla recibido. Bueno, comencemos con éste.
Para que el área comida por la cabra sea la mitad sea la mitad área total del campo entonces el radio de la superficie comida, es decir la longitud de la soga, debe ser igual al radio del campo dividido por Raíz(2).
Aproximadamente:
Lsoga = Rcampo/1,41
lo que, también aproximadamente, es igual a
Rcampo* 0,707
La razón de que esto sea así es que el área de un círculo es proporcional al radio al cuadrado.
Si dividiéramos el radio por dos entonces el área se dividiría por cuatro y eso no es lo que queremos. En cambio si dividimos el radio por Raíz de dos el área se divide por dos que es lo que pide el problema.
El planteo es el siguiente:
Area comida =1/2 Area campo
Pi (Lsoga)^2 = 1/2 Pi (Rcampo)^2
Primero simplificamos Pi
(Lsoga)^2=1/2 (Rcampo)^2
Ahora sacamos la raíz cuadrada de todo, cosa que los cuadrados se van y queda :
Lsoga =Raíz(1/2) Rcampo
Ahora bien:
--------------------------------------------------------
La raíz cuadrada de 1/2 que es lo mismo que 1/Raíz(2),
A esta expresión se la suele racionalizar.
Esto es: para no tener una Raíz(2) dividiendo se multiplica numerador y denominador justamente por Raíz(2) y queda:
1/Raíz(2)= Raíz(2)/ [Raíz(2)* Raíz(2)] = Raíz(2)/2
------------------------------------------------------
Entonces la respuesta más elegante es
Lsoga = Raíz(2)/2 . Rcampo
Para que el área comida por la cabra sea la mitad sea la mitad área total del campo entonces el radio de la superficie comida, es decir la longitud de la soga, debe ser igual al radio del campo dividido por Raíz(2).
Aproximadamente:
Lsoga = Rcampo/1,41
lo que, también aproximadamente, es igual a
Rcampo* 0,707
La razón de que esto sea así es que el área de un círculo es proporcional al radio al cuadrado.
Si dividiéramos el radio por dos entonces el área se dividiría por cuatro y eso no es lo que queremos. En cambio si dividimos el radio por Raíz de dos el área se divide por dos que es lo que pide el problema.
El planteo es el siguiente:
Area comida =1/2 Area campo
Pi (Lsoga)^2 = 1/2 Pi (Rcampo)^2
Primero simplificamos Pi
(Lsoga)^2=1/2 (Rcampo)^2
Ahora sacamos la raíz cuadrada de todo, cosa que los cuadrados se van y queda :
Lsoga =Raíz(1/2) Rcampo
Ahora bien:
--------------------------------------------------------
La raíz cuadrada de 1/2 que es lo mismo que 1/Raíz(2),
A esta expresión se la suele racionalizar.
Esto es: para no tener una Raíz(2) dividiendo se multiplica numerador y denominador justamente por Raíz(2) y queda:
1/Raíz(2)= Raíz(2)/ [Raíz(2)* Raíz(2)] = Raíz(2)/2
------------------------------------------------------
Entonces la respuesta más elegante es
Lsoga = Raíz(2)/2 . Rcampo
