3er grado
Hola.
Quisiera saber si existe alguna fórmula para calcular directamente las raíces de un polinomio de tercer grado, me refiero a alguna análoga a la que usamos para resolver las ecuaciones cuadráticas. He utilizado por muchos años diversos métodos de tanteo, factorización, etc, además de métodos numéricos. Pero ocurre que alguien alguna vez me dijo que tal expresión existía. No sé si me mintieron o no, lo cierto es que yo jamás la encontré.
De antemano muchas gracias.
Daniel.
Quisiera saber si existe alguna fórmula para calcular directamente las raíces de un polinomio de tercer grado, me refiero a alguna análoga a la que usamos para resolver las ecuaciones cuadráticas. He utilizado por muchos años diversos métodos de tanteo, factorización, etc, además de métodos numéricos. Pero ocurre que alguien alguna vez me dijo que tal expresión existía. No sé si me mintieron o no, lo cierto es que yo jamás la encontré.
De antemano muchas gracias.
Daniel.
Respuesta de eudemo
1
Mentirte no te mintieron.
La fórmula de resolución de las ecuaciones de tercer grado es la fórmula de Cardano.
El método fue inicialmente ideado por Scipione Del Ferro y Niccolo Tartaglia en el siglo XVI y fue publicado por primera vez por Jerónimo Cardano en su libro Ars Magna
Dada de la ecuación cúbica en general:
a x^3+b x^2+c x+d=0
Donde la incógnita es por y los coeficientes son a, b, c y de se pasa a la ecuación reducida.
z^3+p z+q=0
donde la incógnita es z y los coeficientes son p y q.
Para pasar a la ecuación reducida primero se divide todo por a
x^3+b/a x^2+c/a x+d=0
y luego se reemplaza x por z-b/3a.
(z-b/3a) ^3 + b/a (z-b/3a) ^2 + c/a (z-b/3a)=0
Expandiendo el cubo y el cuadrado y agrupando términos queda
Z^3+[c/a - (b/a)^2/3] z + [2 b^3 /a^3 - c.b/3a]=0
Aquí vemos como p y q se pueden hallar a partir de a, b, c y d
c/a - (b/a)^2/3 = p
y que
2 b^3 /a^3 - c.b/3a = q
Conocidos p y q podemos aplicar la formula de Cardano.
z=Raiz3{-q/2+Raiz2[(q/2)^2+(p/3)^3]}+ Raiz3{-q/2- Raiz2[(q/2)^2+(p/3)^3]}
Observa que hay raíces cuadradas. En el caso de que tengamos que sacar la raíz cuadrada solo de números positivos la fórmula nos da directamente una de las soluciones de la ecuación. Recuerda que una ecuación cúbica siempre tiene una raíz real. Pero puede ser que haya que sacar la raíz cuadrada de números negativos. Entonces el resultado no serán números reales sino números complejos. En ese caso luego hará falta sacar la raíz cúbica de números complejos. La raíces de números complejos no tiene resultado único. En el caso de las raíces cúbicas hay tres resultados. Aun después de todo esto el resultado final bien pueden ser números reales así como complejos. Como ves la simple fórmula no alcanza. Hacen falta criterios para decidir como combinar las diferentes raíces cúbicas.
Por todo si bien existe una ecuación debemos considerarla un método de resolución.
Si quieres estudiarlo hay muchas páginas que lo tratan.
Te doy una dirección
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado
Si tienes dudas, no dudes en consultarme.
La principal conclusión que me gustaría dejarte es que, si bien en Matemáticas se usan fórmulas, la solución de un problema es un razonamiento y es igualmente válido expresarlo mediante fórmulas o simplemente con el lenguaje que todos los días nos sirve para hacernos entender.
La fórmula de resolución de las ecuaciones de tercer grado es la fórmula de Cardano.
El método fue inicialmente ideado por Scipione Del Ferro y Niccolo Tartaglia en el siglo XVI y fue publicado por primera vez por Jerónimo Cardano en su libro Ars Magna
Dada de la ecuación cúbica en general:
a x^3+b x^2+c x+d=0
Donde la incógnita es por y los coeficientes son a, b, c y de se pasa a la ecuación reducida.
z^3+p z+q=0
donde la incógnita es z y los coeficientes son p y q.
Para pasar a la ecuación reducida primero se divide todo por a
x^3+b/a x^2+c/a x+d=0
y luego se reemplaza x por z-b/3a.
(z-b/3a) ^3 + b/a (z-b/3a) ^2 + c/a (z-b/3a)=0
Expandiendo el cubo y el cuadrado y agrupando términos queda
Z^3+[c/a - (b/a)^2/3] z + [2 b^3 /a^3 - c.b/3a]=0
Aquí vemos como p y q se pueden hallar a partir de a, b, c y d
c/a - (b/a)^2/3 = p
y que
2 b^3 /a^3 - c.b/3a = q
Conocidos p y q podemos aplicar la formula de Cardano.
z=Raiz3{-q/2+Raiz2[(q/2)^2+(p/3)^3]}+ Raiz3{-q/2- Raiz2[(q/2)^2+(p/3)^3]}
Observa que hay raíces cuadradas. En el caso de que tengamos que sacar la raíz cuadrada solo de números positivos la fórmula nos da directamente una de las soluciones de la ecuación. Recuerda que una ecuación cúbica siempre tiene una raíz real. Pero puede ser que haya que sacar la raíz cuadrada de números negativos. Entonces el resultado no serán números reales sino números complejos. En ese caso luego hará falta sacar la raíz cúbica de números complejos. La raíces de números complejos no tiene resultado único. En el caso de las raíces cúbicas hay tres resultados. Aun después de todo esto el resultado final bien pueden ser números reales así como complejos. Como ves la simple fórmula no alcanza. Hacen falta criterios para decidir como combinar las diferentes raíces cúbicas.
Por todo si bien existe una ecuación debemos considerarla un método de resolución.
Si quieres estudiarlo hay muchas páginas que lo tratan.
Te doy una dirección
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado
Si tienes dudas, no dudes en consultarme.
La principal conclusión que me gustaría dejarte es que, si bien en Matemáticas se usan fórmulas, la solución de un problema es un razonamiento y es igualmente válido expresarlo mediante fórmulas o simplemente con el lenguaje que todos los días nos sirve para hacernos entender.
1 respuesta más de otro experto
Respuesta de mathtruco
1
Hay una fórmula para calcular la solución general de las ecuaciones de tercer grado análoga a la cuadrática,
pero es tan compleja de que no tiene sentido ocuparla.
*******
Por el teorema fundamental del álgebra sabemos que toda ecuación de tercer grado tiene 3 raíces
(Las cuales pueden ser reales o complejas), y las soluciones son:
x1 = -b/(3*a) - (2^(1/3)*(-b^2 + 3*a*c))/(3*a*(-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d + Sqrt[4*(-b^2 + 3*a*c)^3 + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d)^2])^(1/3)) + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d + Sqrt[4*(-b^2 + 3*a*c)^3 + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d)^2])^(1/3)/(3*2^(1/3)*a)
x2 = -b/(3*a) + ((1 + i*Sqrt[3])*(-b^2 + 3*a*c))/(3*2^(2/3)*a*(-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d + Sqrt[4*(-b^2 + 3*a*c)^3 + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d)^2])^(1/3)) - (1 - i*Sqrt[3])*(-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d + Sqrt[4*(-b^2 + 3*a*c)^3 + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d)^2])^(1/3)/(6*2^(1/3)*a)
x3 = -b/(3*a) + ((1 - i*Sqrt[3])*(-b^2 + 3*a*c))/(3*2^(2/3)*a*(-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d + Sqrt[4*(-b^2 + 3*a*c)^3 + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d)^2])^(1/3)) - (1 + i*Sqrt[3])*(-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d + Sqrt[4*(-b^2 + 3*a*c)^3 + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d)^2])^(1/3)/(6*2^(1/3)*a)
********
;)
Si tienes computador puedes programarla, de lo contrario es un suicidio tratar de calcular las
raíces con esta fórmula.
Nota: Mencionaste que sabes de numérico, por lo que no debieras tener problemas para entender el
lenguaje ascii :)
Si te quedaste con alguna duda sabes donde preguntar.. de lo contrario te pido no dejes de
evaluar la respuesta.
Chao, suerte
pero es tan compleja de que no tiene sentido ocuparla.
*******
Por el teorema fundamental del álgebra sabemos que toda ecuación de tercer grado tiene 3 raíces
(Las cuales pueden ser reales o complejas), y las soluciones son:
x1 = -b/(3*a) - (2^(1/3)*(-b^2 + 3*a*c))/(3*a*(-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d + Sqrt[4*(-b^2 + 3*a*c)^3 + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d)^2])^(1/3)) + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d + Sqrt[4*(-b^2 + 3*a*c)^3 + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d)^2])^(1/3)/(3*2^(1/3)*a)
x2 = -b/(3*a) + ((1 + i*Sqrt[3])*(-b^2 + 3*a*c))/(3*2^(2/3)*a*(-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d + Sqrt[4*(-b^2 + 3*a*c)^3 + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d)^2])^(1/3)) - (1 - i*Sqrt[3])*(-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d + Sqrt[4*(-b^2 + 3*a*c)^3 + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d)^2])^(1/3)/(6*2^(1/3)*a)
x3 = -b/(3*a) + ((1 - i*Sqrt[3])*(-b^2 + 3*a*c))/(3*2^(2/3)*a*(-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d + Sqrt[4*(-b^2 + 3*a*c)^3 + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d)^2])^(1/3)) - (1 + i*Sqrt[3])*(-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d + Sqrt[4*(-b^2 + 3*a*c)^3 + (-2*b^3 + 9*a*b*c - 27*a^2*d)^2])^(1/3)/(6*2^(1/3)*a)
********
;)
Si tienes computador puedes programarla, de lo contrario es un suicidio tratar de calcular las
raíces con esta fórmula.
Nota: Mencionaste que sabes de numérico, por lo que no debieras tener problemas para entender el
lenguaje ascii :)
Si te quedaste con alguna duda sabes donde preguntar.. de lo contrario te pido no dejes de
evaluar la respuesta.
Chao, suerte