Un algoritmo...

Supongamos que no sabemos la respuesta.
_SEND
_MORE
Money
Hummm ¿Cómo será esto?
Veamos como podemos ir sacando conclusiones
Hay en total ocho letras distintas DE E M N O R ES Y que se corresponden con ocho dígitos distintos.
Debe cumplirse lo siguiente:
D+E = Y + 10 a1
N+R + a1 = E + 10 a2
E+O + a2 = N + 10 a3
S+M + a3 = O + 10 a4
M = a4
Donde a1 a2 a3 y a4 son los arrastres que se transportan en cada suma
Cada arrastre solo puede valer cero o uno.
En efecto, en una suma de dos números ningún arrastre puede valer más que uno. Aunque se sumemos 9999+9999 ningún arrastre vale más que uno.
Ahora bien
M no puede ser cero porque sería un cero a la izquierda. Entonces a4=M=1
La ecuación S+M+a3=O+10a4 ahora es S+1+a3=O+10
La suma de S+1+a3 solo puede valer 10 u 11
No pude ser mayor a 11 porque como máximo sería 9+1+1=11
Pero... un momento, si la suma diera once entonces sería O=1
Se supone que letras distintas representan números distintos.
El uno ya se lo asignamos a la M, por lo tanto O no puede ser uno.
Entonces tiene que ser O=0 y también será S+a3=9
Si fuera a3=1 en
E+a2=N + 10 a3
tendría que ser E=9 y a2=1 con lo cual sería N=0
Pero el cero ya es la O No podemos asignar el mismo numero a dos letras distintas. Entonces tiene que ser a3=0
Por lo tanto S+1=10 y es S=9
Además E+O+a2 = N+10a3 queda como
E+a2 = N
Si fuera a2=0 entonces tendríamos E=N que no puede ser porque todas las letras representan números distintos.
Entonces a2=1 y es
E+1=N
En N+R + a1 = E + 10.a2 reemplazamos N por E+1 y a2 por 1 y nos queda:
E+1+R+a1=E+10
1+R+a1=10
R+a1=9
Si fuera a1=0 sería R=9 Pero el 9 es la S
Entonces tiene que ser a1=1 y R=8
La primer ecuación nos queda
D+E = Y + 10
El 8 y el 9 ya están asignados
Por lo tanto N es 7 o menor
Si fuera N=7 seria E=6 con lo cual el mayor numero que nos queda para la D es 5. Entonces D+E=Y+10 seria 5+6 =Y+1 con lo cual sería Y=1 lo que no puede ser porque ya sabemos que M=1
Entonces N no es 7. Supongamos N=6
En caso de que N=6 es N=5 . Ahora si elegimos D=4 o menor D+E no llegaría a mas de 10 para que exista el arrastre a1 Entonces tiene que ser D= 7
Entonces D+E=5+7=12 =Y+10 con lo cual seria Y=2
Quiere decir que ya tenemos una solución completa con N=6
Podría ser N=5. En ese caso sería E=4 . Ya vimos que a la D le queda el 7 como máximo y E+D=4+7=11 con lo cual sería Y=1 que no puede ser por que la M es el uno.
Con N=4 y E=3 sería Y=0 que tampoco puede ser.
Con N menor que 4 la suma D+E no llega a 10 cuando sabemos que debe tener arrastre.
Es decir la solución es N=6 E=5 D=7 Y=2 R=8 S=9 O=0 M=1
y no hay otra
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
En realidad todo esto no es para nada la verdadera respuesta a tu pregunta.
Por eso yo comencé diciendo: supongamos que no sabemos la respuesta.
Tu pregunta dice ¿Cuál es la argumentación que sustenta este resultado?
Lo que sustenta este resultado es lo siguiente :
9567 + 1085 = 10652
SEND + MORE= MONEY
Es decir con esos números funciona. No hace falta más sustento. La verificación demuestra que la solución es correcta. Claro no demuestra que es única (unicidad).
Si tu pregunta hubiera sido ¿Cómo hallar la solución? ¿Es única la solución?
Entonces corresponde la toda la deducción de arriba.
Para demostrar que el resultado es único simplemente probando habría que probar todas las posibilidades que son muchas (factorial de 10) pero no infinitas. Al probarlas todas, solamente funciona 9567+1085 = 10652 entonces esa es la solución única. Así tendríamos demostrada la unicidad. Bueno sería demasiado largo. A veces es el único camino.
Un famoso ejemplo de esto es el teorema de los cuatro colores. Afirma que con cuatro colores se pude colorear cualquier mapa.
Lo demostraron Appel y Haken en 1976. Lo hicieron verificando todos los casos. Usaron 1200 horas de computadora. Fue el primer ejemplo de demostración matemática por computadora.

Este es un "juego", problema de criptografía, y se han hecho muchos programas de computadora para resolverlo.
No hay una gran sustentación en si, solo lo interesante de encriptar y desencriptar.
El problema fue resuelto por personas comunes (sin programas) y no es, ni ha sido, un gran reto.