Ayuda para resolver algunos ejercicios
14. Si se obtiene un préstamo de S/.18,000 al 16% anual de interés simple para ser cancelado en 10 cuotas bimestrales adelantadas. ¿Cuál será el valor de la cuota?
15. Un préstamo de S/14,000 se amortizará con pagos trimestrales vencidos de
S/.1,500 cada uno durante 36 meses. Calcular la tasa anual de interés simple.
16. Se obtiene un préstamo por S/.100,000 al 24% de interés simple anual al rebatir, para amortizarse el principal con cuotas constantes trimestrales y pagos periódicos trimestrales decrecientes, en un periodo de un año y 8 meses
1 Respuesta
Como ya te he dicho en otros dos sitios contestaré un solo ejercicio por pregunta. Aquí lo haré con el 14.
Y al igual que en el problema 17 está el problema del cálculo de la tasa bimestral.
Yo digo y conozco que se aplica esta fórmula:
IB = (1+IA)^(1/6) - 1
Pero se que sí les conviene y no se lo impide la ley los bancos lo calculan como
IB = IA/6
Cuando les sale más beneficioso.
Independientemente del método de cálculo llamemos t al interés bimestral
Sea z la cuota que se paga bimestralmente.
Z se compone de dos partes, la destinada a amortizar, llemémosla a y la destinada al pago de intereses, llamémosla b
z = a+b
Y aun cuando a y b son variables, z es siempre constante.
Calculamos la expresión de z en las sucesivas cuotas
Puesto que se paga por adelantado, en la primera cuota es todo amortización y no se pagan intereses.
z = a1+ 0
z = a2 + t(C-a1)
z = a3 + t(C-a1-a2)
z = a4 + t(C-a1-a2-a3)
....
z = an + t[C-a1-a2-...- a sub (n-1)]
Vamos a poner todo en función de z
a1=z
- - - -
z =a2 + t(C-z)
a2 = z - t(C-z) = z + tz -tC = z(1+t) - tC
- - - -
z = a3 + t(C-a1-a2)
a3 = z - t(C-z-z(1+t)+tC) = z - t(C - 2z - zt + tC) =
Lo dejo, es muy complicado y ahora no puedo seguir. Ya verá si mañana puedo hacer algo. De todas formas si tienes la fórmula me la dices porque deducirla es muy difícil y no haría falta tanto esfuerzo si nos dan la fórmula.
Veamos a ver si hoy estoy más inspirado:
Partamos de la fórmula de las amortizaciones iguales
a = [Ct(1+t)^n] / [(1+t)^n -1]
Con C la deuda, n el número de pagos y t el interés aplicable al tiempo entre dos pagos.
Esa fórmula es valida para amortizaciones al vencimiento del periodo. Si son anticipadas hacemos un primer pago que es amortización pura y se nos queda como un préstamo de capital (C-a) en (n-1) amortizaciones ahora sí a vencimiento de periodo. Además, cada una de esas amortizaciones tiene el mismo valor que la que se hizo al principio, luego podemos escribir esa igualdad de esta forma
a =[(C-a)t(1+t)^(n-1)] / [(1+t)^(n-1) -1]
a[(1+t)^(n-1) -1] = Ct(1+t)^(n-1) - at(1+t)^(n-1)
a(1+t)^(n-1) -a + at(1+t)^(n-1) = Ct(1+t)^(n-1)
a(1+t)(1+t)^(n-1) - a = Ct(1+t)^(n-1)
a(1+t)^n - a = Ct(1+t)^(n-1)
a[(1+t)^n -1] = Ct(1+t)^(n-1)
a = Ct(1+t)^(n-1) / [(1+t)^n -1]
Y esa es la fórmula para amortizaciones con pagos anticipados, vamos a aplicarla a nuestro problema:
C = 18000
t = (1,16)^(1/6)-1 = 0,0250451573
1+t = (1,16)^(1/6)
n = 10
a = 18000t[(1,16)^(1/6)]^9 / {[(1,16)^(1/6)]^10 - 1} =
18000t(1,16)^(9/6) / {(1,16)^(10/6) - 1} =
18000t(1,249358235) /(0,2806486088) =
80130,26798t =
80130,26798(0,0250451573) = 2006,875166
Y ese es el importe de la amortización bimensual por anticipado. Como la fórmula ha sido deducida y las cuentas eran algo complicadas vamos a verifica que está bien.
Pagamos el primer bimestre por anticipado por lo que recibimos
18000 - 2006,875166 = 15993,12483
que debemos pagar en 9 cuotas
Aplicamos la fórmula de amortizaciones para 9 pagos a periodo vencido
a = [Ct(1+t)^n] / [(1+t)^n -1]
t = (1,16)^(1/6)-1 = 0,0250451573
1+t = (1,16)^(1/6)
n = 9
a =15993,12483t[(1,16)^(1/6)]^9 / {[(1,16)^(1/6)]^9-1}
= 15993,12483t(1,16)^(9/6) / {(1,16)^(9/6)-1} =
15993,12483t(1,249358235) / 0,249358235 =
80130,26804t=
80130,26804(0,0250451573)= 2006,875168
Que solo tiene una diferencia de 2 millonésimas con el resultado previsto y es perfectamente achacable a los errores de redondeo de tan complejas operaciones como se han hecho. Luego queda verificado que está bien.
En el caso de que tu teoría diga que el interés bimestral se calcula mediante la fórmula
t = 0,16/6
el resultado sería
a = Ct(1+t)^(n-1) / [(1+t)^n -1] =
18000(0,0266...)(1,02666...)^9/[(1,02666...)^10-1] =
18000(0,02666...)(1,267258334)/0,3010518896 =
608,2840003/0,3010518896 =
2020,528757
Que es una cantidad mayor que la anterior por lo que favorece al banco. Pero está mal porque mezcla el interés simple con el compuesto a mejor conveníencia.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. No olvides puntuar y mandar los otros ejercicios en preguntas separadas si quieres que los conteste.
