Ayuda en matemáticas. Necesito que alguien me ayude con esta ecuación sobre límites.
Podrías ayudarme con la resolución de este problema sobre límites.
De antemano agradezco tu respuesta.
Lim
x->1
[x^(100)-2x+1]/[x^(50)-2x+1]
P.D. X^ SIGNIFICA X ELEVADO A ..
De antemano agradezco tu respuesta.
Lim
x->1
[x^(100)-2x+1]/[x^(50)-2x+1]
P.D. X^ SIGNIFICA X ELEVADO A ..
Respuesta de gilillo
1
Disculpa la tardanza, espero que no sea muy tarde.
La forma de resolver este tipo de problemas con limites donde tienes un cociente y tanto el limite al que tiene el numerador como el limite al que tiende el denominador es = 0 es la misma:
Dado que ambos, denominador y numerado son iguales a cero en el valor que te piden evaluar el limite, esto significa que ambos tienen una raíz común, que es precisamente el valor en el que te piden el limite, en nuestro caso tanto "x^100 -2x + 1" como "^x^50 -2x + 1" valen cero en x=1, por lo tanto lo que tenemos que hacer es dividir ambos polinomios entre (x-1), es decir:
(x^100 -2x + 1)/(x^50 -2x +1) = P(x)(x-1)/Q(x)(x-1) = P(x)/Q(x)
Nuestra primer tarea sera encontrar la solución de dividir ambos polinomios entre (x-1) para encontrar P y Q
La manera más sencilla es mediante la división sintética, es un método numérico que se emplea para dividir polinomios. Eso te lo dejo de tarea.
(X^100 - 2x + 1)/(x-1) = x^99 + x^98 + x^97 + ... + x - 1
(x^50 - 2x + 1)/(x-1) = x^49 + x^48 + x^47 + ... + x - 1
Entonces tenemos que:
(x^100 -2x + 1)/(x^50 -2x +1) = (x^99 + x^98 + ... + x - 1)/(x^49 + x^48 + ... + x - 1)
Ahora si podemos encontrar el limite de esta expresión ya que ni el numerador ni el denominador son iguales a cero en x=1
lim(x-0)( (x^100 -2x + 1)/(x^50 -2x +1) ) = lim(x-0)( (x^99 + x^98 + ... + x - 1)/(x^49 + x^48 + ... + x - 1) )
= ( lim(x-0)( x^99 + x^98 + ... + x - 1 ) ) / ( lim(x-0)( x^49 + x^48 + ... + x - 1 ) )
= (1 + 1 + 1 ... + 1 - 1)/(1 + 1 + 1 + ... + 1 - 1)
De acuerdo a los exponentes de cada polinomio es la cantidad de unos que terminas sumando, y al final le restas -1
Finalmente: lim(x-0)( (x^100 -2x + 1)/(x^50 -2x +1) ) = 49 / 24
La forma de resolver este tipo de problemas con limites donde tienes un cociente y tanto el limite al que tiene el numerador como el limite al que tiende el denominador es = 0 es la misma:
Dado que ambos, denominador y numerado son iguales a cero en el valor que te piden evaluar el limite, esto significa que ambos tienen una raíz común, que es precisamente el valor en el que te piden el limite, en nuestro caso tanto "x^100 -2x + 1" como "^x^50 -2x + 1" valen cero en x=1, por lo tanto lo que tenemos que hacer es dividir ambos polinomios entre (x-1), es decir:
(x^100 -2x + 1)/(x^50 -2x +1) = P(x)(x-1)/Q(x)(x-1) = P(x)/Q(x)
Nuestra primer tarea sera encontrar la solución de dividir ambos polinomios entre (x-1) para encontrar P y Q
La manera más sencilla es mediante la división sintética, es un método numérico que se emplea para dividir polinomios. Eso te lo dejo de tarea.
(X^100 - 2x + 1)/(x-1) = x^99 + x^98 + x^97 + ... + x - 1
(x^50 - 2x + 1)/(x-1) = x^49 + x^48 + x^47 + ... + x - 1
Entonces tenemos que:
(x^100 -2x + 1)/(x^50 -2x +1) = (x^99 + x^98 + ... + x - 1)/(x^49 + x^48 + ... + x - 1)
Ahora si podemos encontrar el limite de esta expresión ya que ni el numerador ni el denominador son iguales a cero en x=1
lim(x-0)( (x^100 -2x + 1)/(x^50 -2x +1) ) = lim(x-0)( (x^99 + x^98 + ... + x - 1)/(x^49 + x^48 + ... + x - 1) )
= ( lim(x-0)( x^99 + x^98 + ... + x - 1 ) ) / ( lim(x-0)( x^49 + x^48 + ... + x - 1 ) )
= (1 + 1 + 1 ... + 1 - 1)/(1 + 1 + 1 + ... + 1 - 1)
De acuerdo a los exponentes de cada polinomio es la cantidad de unos que terminas sumando, y al final le restas -1
Finalmente: lim(x-0)( (x^100 -2x + 1)/(x^50 -2x +1) ) = 49 / 24
