Tengo un ejercicio de matemáticas bastante complejo. No encuentro solución, ¿Me ayudas?
Tengo este ejercicio que no he podido solucionar para que me ayudes si es posible:
sea L:AX+BY+C=0 la ecuacion de una recta, y P1(X1,Y1) un punto, talque P1 no pertenesca a L, entonces la distancia del P1 a la recta L,denotado por B, esta dado por el valor absoluto:
d= |AX1+BY1+C|
------------------
Raíz cuadrada de A al cuadrado + B al cuadrado
demuestrelo!
sea L:AX+BY+C=0 la ecuacion de una recta, y P1(X1,Y1) un punto, talque P1 no pertenesca a L, entonces la distancia del P1 a la recta L,denotado por B, esta dado por el valor absoluto:
d= |AX1+BY1+C|
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Raíz cuadrada de A al cuadrado + B al cuadrado
demuestrelo!
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Respuesta de gilillo
1
Resolveremos el problema, pero sera algo pesado por la falta de símbolos en esta forma de escribirlo, espero no confundirte.
Necesitamos encontrar la ecuación de una nueva línea recta imaginaria, que pase por el punto "P", y que sea perpendicular a "L". De esta forma, por ser perpendiculares, encontraremos un punto "C" sobre "L" donde se cruzan ambas rectas, y la distancia entre "P" y "C" será la distancia entre "P" y "L"; que es lo que nos pide el problema. Por lo tanto calcularemos la distancia entre "P" y "C"
Sea (Xc, Yc) las coordenadas donde cruzan ambas lineas, entonces por teorema de pitágoras:
Distancia = D
D = Raiz[ (X1 - Xc)^2 + ( Y1 - Yx )^2 ]
La ecuacion de "L", la podemos reescribir reacomodandola como:
Y = (-A/B)X - C/B
Notamos entonces que la pendiente de "L" es: -A/B
La pendiente de una línea perpendicular a otra se obtiene sacando la inversa negativa de la pendiente de la linea de quien es perpendicular; así la pendiente de la línea imaginaria perpendicular a "L" sera:
- (-A/B)^(-1) = B/A
(signo contrario e inversa)
Entonces la ecuación de la linea imaginaria satisface:
(Y1 - Yc)/(X1 - Xc) = B/A
Despejamos
(Y1 - Yx) = (B/A)*(X1 - Xc)
Sustituimos en la distancia:
D = Raiz[ (X1 - Xc)^2 + ((B/A)*(X1 - Xc))^2 ] = Raiz[ (X1 - Xc)^2 + (B^2/A^2)*(X1 - Xc)^2 ]
D = Raiz[ (1 + B^2/A^2)*(X1 - Xc)^2] = |X1 - Xc|*Raiz[ (A^2 + B^2)/A^2] = |X1 - Xc|*(1/A)*Raiz[ A^2 + B^2 ]
D = |X1 - Xc|*(1/A)*Raiz[ A^2 + B^2 ]
Pero desconocemos Xc, aunque sabemos que satisface L y la linea imaginaria perpendicular, entonces:
AXc + BYc + C = 0
(Y1 - Yc)/(X1 - Xc) = B/A
Con estas dos ecuaciones podemos encontrar Xc, y Yx en función de X1, Y1, A, B y C
Queda:
Xc = ( B^2X1 - ABY1 - AC )/(A^2 + B^2)
Yc no la pongo porque la expresión que obtuve es muy larga y en realidad no la necesitamos.
Sustiuimos Xc en la ecuacion de la distancia a que llegamos:
D = |X1 - ( B^2X1 - ABY1 - AC )/(A^2 + B^2)|*(1/A)*Raiz[ A^2 + B^2 ]
D = |((A^2 + B^2)X1 - B^2X1 + ABY1 + AC )/(A^2 + B^2)|*(1/A)*Raiz[ A^2 + B^2 ]
Eliminamos el B^2X1
D = |(A^2X1 + ABY1 + AC )/(A^2 + B^2)|*(1/A)*Raiz[ A^2 + B^2 ]
Ahora el (1/A) elimina algunas A's
D = |(AX1 + BY1 + C )/(A^2 + B^2)|*Raiz[ A^2 + B^2 ]
Finalmente el 1/(A^2 + B^2) lo podemos sacar fuera del ||, y como arriba tenemos Raíz[ A^2 + B^2 ], nos queda:
D = |AX1 + BY1 + C|/Raiz[ A^2 + B^2 ]
Necesitamos encontrar la ecuación de una nueva línea recta imaginaria, que pase por el punto "P", y que sea perpendicular a "L". De esta forma, por ser perpendiculares, encontraremos un punto "C" sobre "L" donde se cruzan ambas rectas, y la distancia entre "P" y "C" será la distancia entre "P" y "L"; que es lo que nos pide el problema. Por lo tanto calcularemos la distancia entre "P" y "C"
Sea (Xc, Yc) las coordenadas donde cruzan ambas lineas, entonces por teorema de pitágoras:
Distancia = D
D = Raiz[ (X1 - Xc)^2 + ( Y1 - Yx )^2 ]
La ecuacion de "L", la podemos reescribir reacomodandola como:
Y = (-A/B)X - C/B
Notamos entonces que la pendiente de "L" es: -A/B
La pendiente de una línea perpendicular a otra se obtiene sacando la inversa negativa de la pendiente de la linea de quien es perpendicular; así la pendiente de la línea imaginaria perpendicular a "L" sera:
- (-A/B)^(-1) = B/A
(signo contrario e inversa)
Entonces la ecuación de la linea imaginaria satisface:
(Y1 - Yc)/(X1 - Xc) = B/A
Despejamos
(Y1 - Yx) = (B/A)*(X1 - Xc)
Sustituimos en la distancia:
D = Raiz[ (X1 - Xc)^2 + ((B/A)*(X1 - Xc))^2 ] = Raiz[ (X1 - Xc)^2 + (B^2/A^2)*(X1 - Xc)^2 ]
D = Raiz[ (1 + B^2/A^2)*(X1 - Xc)^2] = |X1 - Xc|*Raiz[ (A^2 + B^2)/A^2] = |X1 - Xc|*(1/A)*Raiz[ A^2 + B^2 ]
D = |X1 - Xc|*(1/A)*Raiz[ A^2 + B^2 ]
Pero desconocemos Xc, aunque sabemos que satisface L y la linea imaginaria perpendicular, entonces:
AXc + BYc + C = 0
(Y1 - Yc)/(X1 - Xc) = B/A
Con estas dos ecuaciones podemos encontrar Xc, y Yx en función de X1, Y1, A, B y C
Queda:
Xc = ( B^2X1 - ABY1 - AC )/(A^2 + B^2)
Yc no la pongo porque la expresión que obtuve es muy larga y en realidad no la necesitamos.
Sustiuimos Xc en la ecuacion de la distancia a que llegamos:
D = |X1 - ( B^2X1 - ABY1 - AC )/(A^2 + B^2)|*(1/A)*Raiz[ A^2 + B^2 ]
D = |((A^2 + B^2)X1 - B^2X1 + ABY1 + AC )/(A^2 + B^2)|*(1/A)*Raiz[ A^2 + B^2 ]
Eliminamos el B^2X1
D = |(A^2X1 + ABY1 + AC )/(A^2 + B^2)|*(1/A)*Raiz[ A^2 + B^2 ]
Ahora el (1/A) elimina algunas A's
D = |(AX1 + BY1 + C )/(A^2 + B^2)|*Raiz[ A^2 + B^2 ]
Finalmente el 1/(A^2 + B^2) lo podemos sacar fuera del ||, y como arriba tenemos Raíz[ A^2 + B^2 ], nos queda:
D = |AX1 + BY1 + C|/Raiz[ A^2 + B^2 ]
