Anónimo
Duda con rectas paralelas y rectas perpendiculares
[Se sabe que si L: ax+by+c=0, teniendo un punto Q=(X1, Y1) entonces la recta L´ que pasa por Q y es perpendicular a la recta L tiene como ecuación:L´: -bx+ ay +(bx1- ay1)=0.]
Bueno esto se verifica usando el producto de pendientes=-1, mi duda que pasaria si la recta L es una horizontal o una vertical entonces no se podria aplicar la propiedad del producto de pendientes.Una de las formas de solución sería usando geometria.
Pero lo que yo quiero saber si se puede demostrar usando términos algebraicos, así como en el caso de las otras usando el producto de pendientes, pero ahora no se si se podrá demostrar usando otros artificios o propiedades.
Bueno esto se verifica usando el producto de pendientes=-1, mi duda que pasaria si la recta L es una horizontal o una vertical entonces no se podria aplicar la propiedad del producto de pendientes.Una de las formas de solución sería usando geometria.
Pero lo que yo quiero saber si se puede demostrar usando términos algebraicos, así como en el caso de las otras usando el producto de pendientes, pero ahora no se si se podrá demostrar usando otros artificios o propiedades.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Fabian pdl!
Efectivamente, la acuación de la recta normal pasando por x1, y1 es esa que dices.
Claramente pasa por x1, y1
-bx1 + ay1 + bx1 - ay1 = 0
y el producto de las pendientes es
(a/b)(-b/a) = -1
Evidentemente cuando a = 0 no estará definida la pendiente de la recta normal y cuando b= 0 no está definida la pendiente de la misma recta.
Pero es que en la geometría euclidea, antes de hablar que las pendientes de rectas se habla del producto escalar de dos vectores. Y toda recta tiene vectores directores, pendiente puede que no, pero vectores directores siempre los tiene y están perfectamente definidos.
Para una recta
ax + by + c = 0
podemos tomar como vector director el vector
v=(b,a)
Luego, dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es cero
si tomamos el vector v'=(a,-b)
v·v' = (b,a)·(a,-b) = ba - ab = 0
luego son perpendiculares.
Entonces cuando la recta es L: ax + 0y + c =0
v = (0,a)
v' = (a,0)
determina la recta L': 0x + ay - ay1= 0
y como v·v' = 0a +a0 = 0
son perpendiculares.
Igualmente si la recta es L: 0x + by + c = 0 tiene vector
v = (b, 0)
v' = (0, -b)
que detemina esta recta pasando por (x1,y1)
L': -bx + 0y +bx1 = 0
y como el producto escalar de los vectores directores es
v · v' = b0 - 0b = 0
Las rectas son perpendiculares.
Resumiendo, que la demostración original es con el ángulo que forman los vectores directores de las rectas, lo de la pendiente es no sirve para todos los casos.
Y eso es todo, espero que lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar.
Efectivamente, la acuación de la recta normal pasando por x1, y1 es esa que dices.
Claramente pasa por x1, y1
-bx1 + ay1 + bx1 - ay1 = 0
y el producto de las pendientes es
(a/b)(-b/a) = -1
Evidentemente cuando a = 0 no estará definida la pendiente de la recta normal y cuando b= 0 no está definida la pendiente de la misma recta.
Pero es que en la geometría euclidea, antes de hablar que las pendientes de rectas se habla del producto escalar de dos vectores. Y toda recta tiene vectores directores, pendiente puede que no, pero vectores directores siempre los tiene y están perfectamente definidos.
Para una recta
ax + by + c = 0
podemos tomar como vector director el vector
v=(b,a)
Luego, dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es cero
si tomamos el vector v'=(a,-b)
v·v' = (b,a)·(a,-b) = ba - ab = 0
luego son perpendiculares.
Entonces cuando la recta es L: ax + 0y + c =0
v = (0,a)
v' = (a,0)
determina la recta L': 0x + ay - ay1= 0
y como v·v' = 0a +a0 = 0
son perpendiculares.
Igualmente si la recta es L: 0x + by + c = 0 tiene vector
v = (b, 0)
v' = (0, -b)
que detemina esta recta pasando por (x1,y1)
L': -bx + 0y +bx1 = 0
y como el producto escalar de los vectores directores es
v · v' = b0 - 0b = 0
Las rectas son perpendiculares.
Resumiendo, que la demostración original es con el ángulo que forman los vectores directores de las rectas, lo de la pendiente es no sirve para todos los casos.
Y eso es todo, espero que lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar.
Buena tu observación, pero tengo una duda más con lo que me dices de vector director, yo entiendo que puede haber varios vectores directores de una recta, ¿qué no necesariamente es el sólo el vector unitario?.
En la parte de Para una recta : ax+by+c=0
Creo que no puedo toma el vector director (a, b). Un vector que yo tomaría sería v=(b,-a) o también tomaría v=(-b, a). Luego un vector director perpendicular a la recta sería v´=(a, b) o v´(-a,-b).
Por ejemplo, para la recta x-y=0, tiene como uno de sus vectores directores a (1,1) y no (1,-1) identificando al valor de a=1 y b=-1. El problema es que ¿no se como llego a que un vector director de 1 recta sea (b,-a) o (-b, a)?, pero estos vectores directores sí cumplen.
En el problema en la recta : ax+0y+c=0; v=(-0,a) o v=(0,a), coincide, entonces v´( a,0) v(-a,-0), coincide , pero por se acaso el cero no tiene signo.
Luego se determina la recta L´:0x+ ay+k=0 pero como (x1,y1) es punto de paso entonces k=-ay1, la ecuacion quedaría 0x +ay-ay1=0. El otro caso sería con el mismo procedimiento.
¿Ayudame a despejar mis dudas? Y pongo 5 estrellas.
En la parte de Para una recta : ax+by+c=0
Creo que no puedo toma el vector director (a, b). Un vector que yo tomaría sería v=(b,-a) o también tomaría v=(-b, a). Luego un vector director perpendicular a la recta sería v´=(a, b) o v´(-a,-b).
Por ejemplo, para la recta x-y=0, tiene como uno de sus vectores directores a (1,1) y no (1,-1) identificando al valor de a=1 y b=-1. El problema es que ¿no se como llego a que un vector director de 1 recta sea (b,-a) o (-b, a)?, pero estos vectores directores sí cumplen.
En el problema en la recta : ax+0y+c=0; v=(-0,a) o v=(0,a), coincide, entonces v´( a,0) v(-a,-0), coincide , pero por se acaso el cero no tiene signo.
Luego se determina la recta L´:0x+ ay+k=0 pero como (x1,y1) es punto de paso entonces k=-ay1, la ecuacion quedaría 0x +ay-ay1=0. El otro caso sería con el mismo procedimiento.
¿Ayudame a despejar mis dudas? Y pongo 5 estrellas.
Me confundí al dar el vector director de la recta. En efecto, el vector director de una recta
ax + by + c = 0 es
(-b, a)
Y cualquier multiplicación de las dos coordenadas por el mismo número también es un vector director para esa recta.
(b, -a), (3b, -3a) (b/5, -a/5) (-2b, 2a) etc
Entonces cuando usaba v' debe ponerse (a, b) en lugar de (a, -b) como ponía.
----------
El porqué la recta tiene (-b, a) por vector director lo puedes deducir así. Lo primero que debes hacer es trasladar la recta de modo que pase por el punto (0,0). Eso se consigue quitando la c y nos queda la recta ax + by = 0 paralela a la anterior que tiene la misma pendiente y el mismo (o mismos) vector director
Esta recta pasa por (0,0) y por (-b, a) porque
a(-b) + ba = 0
Y el vector libre entre dos puntos no es más que la diferencia de coordenadas de los puntos y nos da:
(-b - 0, a - 0) = (-b, a)
---------------
Los vectores (0, a) o (0,-a) sirven para la misma recta, igual que (a, 0) o (-a, 0) sirven para la perpendicular a la primera.
Dada la recta ax + 0y + c = 0
su vector director es (0,a) y el perpendicular (a,0)
La recta perpendicular tendrá la forma 0x + ay + k = 0
Como (x1,y1) es punto de paso
ay1 + k = 0
k = -ay1
y la ecuación es ay -ay1 = 0
Si, es todo como decías.
No sé si te quedará ya alguna duda. Mil perdones por el fallo que tuve.
ax + by + c = 0 es
(-b, a)
Y cualquier multiplicación de las dos coordenadas por el mismo número también es un vector director para esa recta.
(b, -a), (3b, -3a) (b/5, -a/5) (-2b, 2a) etc
Entonces cuando usaba v' debe ponerse (a, b) en lugar de (a, -b) como ponía.
----------
El porqué la recta tiene (-b, a) por vector director lo puedes deducir así. Lo primero que debes hacer es trasladar la recta de modo que pase por el punto (0,0). Eso se consigue quitando la c y nos queda la recta ax + by = 0 paralela a la anterior que tiene la misma pendiente y el mismo (o mismos) vector director
Esta recta pasa por (0,0) y por (-b, a) porque
a(-b) + ba = 0
Y el vector libre entre dos puntos no es más que la diferencia de coordenadas de los puntos y nos da:
(-b - 0, a - 0) = (-b, a)
---------------
Los vectores (0, a) o (0,-a) sirven para la misma recta, igual que (a, 0) o (-a, 0) sirven para la perpendicular a la primera.
Dada la recta ax + 0y + c = 0
su vector director es (0,a) y el perpendicular (a,0)
La recta perpendicular tendrá la forma 0x + ay + k = 0
Como (x1,y1) es punto de paso
ay1 + k = 0
k = -ay1
y la ecuación es ay -ay1 = 0
Si, es todo como decías.
No sé si te quedará ya alguna duda. Mil perdones por el fallo que tuve.