Número complejo. Raíz enésima
Z=4+2i y w=-2+4i
Tengo que hallar las 4 raices cuartas de -z^2.w^2
z^2=12+16i y w^2=-12-16i entonces w^2=-(z^2) y quedaría raiz cuarta de z^4.
¿Está bien lo que hice? ¿Cómo sigo para hallar las 4 raíces cuartas?
Tengo que hallar las 4 raices cuartas de -z^2.w^2
z^2=12+16i y w^2=-12-16i entonces w^2=-(z^2) y quedaría raiz cuarta de z^4.
¿Está bien lo que hice? ¿Cómo sigo para hallar las 4 raíces cuartas?
Respuesta de bocasmar
1
Sí, lo que has hecho está bien.
Este problema tiene una respuesta fácil.
Si tienes que obtener las raíces de z^4 y sabes que z=4+2i. No hay nada más sencillo.
Obviamente ya tienes la primera de las raíces: z1=z=4+2i.
Las otras tres se obtienen girando z1 a la izquierda tres veces.
La segunda raíz z2 se calcula girando z1 a la izquierda un ángulo igual a Pi/2.
La tercera raíz z3 se calcula girando z2 a la izquierda un ángulo igual a Pi/2.
La cuarta raíz z4 se calcula girando z3 a la izquierda un ángulo igual a Pi/2.
Esto puede parecer complicado... pero girar un número complejo un ángulo igual a Pi/2 a la izquierda es equivalente a multiplicar por i (la unidad imaginaria).
Por tanto las otras tres raíces son: z2=z1·i = -2+4i, z3=z2·i = -4-2i; z4=z3·i = 2-4i.
Esto ocurre así porque este problema está preparado para que así sea.
De modo general las "n" raíces enésimas de un número complejo se calculan obteniendo en primer lugar su módulo y su argumento.
Supongamos z=a + bi con módulo m y argumento A.
Entonces la primera de sus raíces enésimas tiene módulo m1=(m)^(1/n) (raíz enésima de m) y argumento A1=A/n.
El resto de las raíces enésimas tienen el mismo módulo y sus argumentos se distribuyen de forma regular en un arco de 2·Pi.
Así la segunda raíz tiene módulo m2 = m1 argumento A2 = A1 + (2·Pi)/n
La segunda raíz tiene módulo m3 = m1 argumento A3 = A1 + 2((2·Pi)/n)
------------------------------------
La enésima mn=m1, An = A1 + (n-1)((2·Pi)/n)
Este problema tiene una respuesta fácil.
Si tienes que obtener las raíces de z^4 y sabes que z=4+2i. No hay nada más sencillo.
Obviamente ya tienes la primera de las raíces: z1=z=4+2i.
Las otras tres se obtienen girando z1 a la izquierda tres veces.
La segunda raíz z2 se calcula girando z1 a la izquierda un ángulo igual a Pi/2.
La tercera raíz z3 se calcula girando z2 a la izquierda un ángulo igual a Pi/2.
La cuarta raíz z4 se calcula girando z3 a la izquierda un ángulo igual a Pi/2.
Esto puede parecer complicado... pero girar un número complejo un ángulo igual a Pi/2 a la izquierda es equivalente a multiplicar por i (la unidad imaginaria).
Por tanto las otras tres raíces son: z2=z1·i = -2+4i, z3=z2·i = -4-2i; z4=z3·i = 2-4i.
Esto ocurre así porque este problema está preparado para que así sea.
De modo general las "n" raíces enésimas de un número complejo se calculan obteniendo en primer lugar su módulo y su argumento.
Supongamos z=a + bi con módulo m y argumento A.
Entonces la primera de sus raíces enésimas tiene módulo m1=(m)^(1/n) (raíz enésima de m) y argumento A1=A/n.
El resto de las raíces enésimas tienen el mismo módulo y sus argumentos se distribuyen de forma regular en un arco de 2·Pi.
Así la segunda raíz tiene módulo m2 = m1 argumento A2 = A1 + (2·Pi)/n
La segunda raíz tiene módulo m3 = m1 argumento A3 = A1 + 2((2·Pi)/n)
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La enésima mn=m1, An = A1 + (n-1)((2·Pi)/n)
