Polinomios y máximo común divisor

1. La pregunta que planteas cae dentro del álgebra de polinomios en una variable y con coeficientes enteros.
Este conjunto de polinomios tiene la estructura de anillo y, en cierta forma, se asemeja al conjunto de los números enteros que también es un anillo.
En estos dos conjuntos uno de los problemas más estudiados es el de la factorización (tanto de polinomios como de números).
Tu problema es un problema de factorización de polinomios y en ese ámbito se demuestra que q(x)=x^m-1 divide a p(x)=x^n-1 cuando m divide a n. Sin embargo, en esta demostración se puede hacer, de forma sencilla, dividiendo ambos polinomios directamente. Vamos a verlo:
2. Dados dos polinomios p(x) y q(x) siempre es posible encontrar dos polinomios c(x) llamado cociente y r(x) llamado resto tales que:
p(x) = q(x)*c(x) + r(x).
Se dice que q(x) divide a p(x) cuando el polinomio r(x) es cero.
Entonces p(x) = q(x)*c(x).
3. Antes de ver la demostración conviene revisar algunas de los propiedades de los polinomios de la forma x^n-1.
3.1. Lo primero que se destaca es que siempre tienen la raíz simple x=1. Por lo tanto se pueden factorizar de la forma
x^n-1 = (x-1)*Otropolinomio(x)
Es decir x^n-1 siempre es divisible entre x-1. (Esto es análogo a lo que pasa en los números enteros en que cualquier número es divisible entre 1).
3.2. Si n es par el polinomio x^n-1 también tiene la raíz simple x=-1. Por tanto puede escribirse como
x^n-1 = (x-1)*(x+1)*Otropolinomio(x)
4. Ahora la división donde se supone n>m:
Dividendo x^n -1 divisor x^m-1
4.1 El primer elemento del cociente de esta división es x^(n-m) y, por lo tanto se debe restar del dividendo el producto
(x^m-1)*x^(n-m)= x^n-x^(n-m).
Con esto el nuevo dividendo es
x^n-1-(x^n-x^(n-m))= x^(n-m)-1
Por tanto el nuevo dividendo es
x^(n-m)-1 el divisor sigue siendo x^m-1
y el cociente es x^(n-m).
4.2 Para dar un nuevo paso en esta división hay que sumar al cociente
x^((n-m)-m)=x^(n-2m)
Y hay que restar al dividendo actual
(x^m-1)*x^(n-2m)= x^(n-m)-x^(n-2m)
con lo cual el nuevo dividendo será:
x^(n-m)-1 -(x^(n-m)-x^(n-2m))=x^(n-2m)-1
y el cociente completo, hasta ahora, es: x^(n-m)+ x^(n-2m).
4.3 Siguiendo con la división de la misma forma se irán obteniendo los nuevos dividendo de la forma:
x^(n-3m)-1, x^(n-4m)-1, x^(n-5m)-1, etc.
4.4 Si la división tiene que ser exacta el que estamos llamando
"nuevo dividendo" tendrá que llegar a valer
x^m-1
para que añadiendo 1 al cociente y restando (x^m-1)*1 al nuevo dividendo se obtenga resto igual a cero.
Ese último dividendo x^m-1 se obtendrá en algún punto de la secuencia
x^(n-3m)-1, x^(n-4m)-1, x^(n-5m)-1,... para algún valor que tal que
x^(n-km)-1=x^m-1.
4.5 Por tanto: n-km=m => n=(k+1)m y se obtiene que m divide a n.
4.6. Por ejemplo: x^15-1 es dividido por x-1, x^3-1 y x^5-1. Es decir
x^15-1 = (x-1)*otropola,
x^15-1 = (x^3-1)*otropolb,
x^15-1 = (x^5-1)*otropolc.
Esto presenta cierta analogía con la divisibilidad de enteros.
Sin embargo, mientras que 15=1*3*5. no es cierto que:
x^15-1 = (x-1)*(x^3-1)*(x^5-1)
¿Verdad qué no?.
5. La segunda cuestión que planteas ahora es sencilla de demostrar:
Si de es el máximo común divisor de n y m. Están claras dos cosas
5.1. x^d-1 divide a p(x) y a q(x).
5.2 Además es el polinomio de mayor grado que lo hace pues es caso contrario de no sería el máximo común divisor de m y n. (Si hubiese otro número m>s>d con x^s-1 dividiendo a p(x) y q(x), s divide a n y s divide a m a la vez y sería, por tanto, el máximo común divisor de n y m).
Por tanto x^d-1 es el máximo común divisor de p(x) y q(x).
Si necesitas alguna aclaración me lo comentas.