Simplificación de fracción

¿Si te digo que la fracción simplificada da (2x+1) / (x+3y) te lo crees?
Je je, mira el procedimiento.
El denominador es sencillo de hacer ya que x^2 - 9y^2= (x - 3y) (x + 3y) #0
compruebalo si quieres.
El numerador ya es más complicado ya que tenemos que conseguir un cuadrado perfecto.
Es decir algo de la forma (x+y)^2.
En primer lugar observamos que elementos tiene el polinomio:
puedes ver que existe un x^2 y un 6xy = 2*3xy
entonces podemos hacer
(x-3y)^2 = x^2 -6xy +9y^2  #1
Como puedes ver tenemos parte de la expresión nos sobre el 9y^2 y falta un x^2 para que aparezca 2x^2, entonces lo sumamos:
(x-3y)^2 - 9y^2 + x^2 = 2x^2 -6xy  #2
ahora solo falta un (x+3y), entonces loque hacemos es sumarlo:
(x-3y)^2 - 9y^2 + x^2 + x - 3y = 2x^2-6xy+x-3y #3
vamos a agrupar términos en #3, (x-3y)^2 + (x^2 - 9y^2) + (x-3y), es lo mismo,no?
Vale ahora dirás hemos conseguido lo mismo pero no podemos simplificar nada, pero eso no es cierto
opserva que tienes un (x^2 -9y^2) = (x + 3y)(x - 3y)
Así que hasta ahora el numerador tiene la siguiente forma:
(x-3y)^2 + (x + 3y)(x - 3y) + (x-3y) = (x - 3y) [ (x - 3y) + (x+3y) +1 ] #4
en la expresión #4 lo único que hemos hecho ha sido sacar un factor común de (x - 3y)
Por lo tanto si observas el denominador se puede simplificar el (x - 3y)
Nos queda la expresión.
( (x - 3y) + (x+3y) +1 ) / (x+3y)
Aunque no hemos terminado el denominador se puede simplificar, ya que tenemos un 3y negativo y otro positivo así que los podemos eliminar:
POR LO TANTO, la solución que queda es
(2x+1) / (x+3y)