¿Cómo hallar la imagen de una función?
Quisiera saber como hallar la imagen (rango o recorrido) de una función algebraicamente. Tengo dudas ya que
Ejemplo:1º)
Hallar la imagen de:
f(x) = (2x + 4) / (2x - 3)
Igualammos a 'y' y se despeja 'x' de la expresión:
y = (2x + 4) / (2x - 3)
2xy-3y =2x-4
2xy-2x = 3y-4
2x(y-1) = (3y-4)
x = (3y-4) / 2(y-1)
al contestar la pregunta ¿que valores de y hacen que por exista?
rpta: cualquiera menos aquellos que hacen 0 al denominador
entonces:
Ran (f) = R - {y?R/ y-1=0} = R - {1}
Pero en este otro ejemplo:
Hallar la imagen de f(x)=sqrt(x-1)
y=sqrt(x-1)
y^2=x-1
y^2-1=x
Y se tiene que la imagen en R(conjunto de No. Reales), pero es falso ya que la imagen es de [0, inf+).
¿En qué esta mal si es el mismo procedimiento?, ¿Cuáles son los pasos a seguir en si para hallar la imagen de una función?.
Ejemplo:1º)
Hallar la imagen de:
f(x) = (2x + 4) / (2x - 3)
Igualammos a 'y' y se despeja 'x' de la expresión:
y = (2x + 4) / (2x - 3)
2xy-3y =2x-4
2xy-2x = 3y-4
2x(y-1) = (3y-4)
x = (3y-4) / 2(y-1)
al contestar la pregunta ¿que valores de y hacen que por exista?
rpta: cualquiera menos aquellos que hacen 0 al denominador
entonces:
Ran (f) = R - {y?R/ y-1=0} = R - {1}
Pero en este otro ejemplo:
Hallar la imagen de f(x)=sqrt(x-1)
y=sqrt(x-1)
y^2=x-1
y^2-1=x
Y se tiene que la imagen en R(conjunto de No. Reales), pero es falso ya que la imagen es de [0, inf+).
¿En qué esta mal si es el mismo procedimiento?, ¿Cuáles son los pasos a seguir en si para hallar la imagen de una función?.
1 Respuesta
Respuesta de canalrev
1
El procedimiento está bien,
El problema está en el segundo ejemplo, ya que al elevar al cuadrado para quitar la raíz cuadrada estas perdiendo un signo (da igual que fuera y=sqrt(x-1) que y=-sqrt(x-1))
Al poner y=sqrt(x-1) estás tomando solo la raíz positiva y despreciando la negativa. Por así decir la función y^2-1=x tiene dos funciones inversas, la positiva y la negativa.
El problema está en el segundo ejemplo, ya que al elevar al cuadrado para quitar la raíz cuadrada estas perdiendo un signo (da igual que fuera y=sqrt(x-1) que y=-sqrt(x-1))
Al poner y=sqrt(x-1) estás tomando solo la raíz positiva y despreciando la negativa. Por así decir la función y^2-1=x tiene dos funciones inversas, la positiva y la negativa.
¿?, ¿Cómo quedaría la imagen entonces?, gracias de antemano.
La imagen como tu dices en el desarrollo es [0, infito)
(Estop sucede por tomar solo la raíz positiva)
(Estop sucede por tomar solo la raíz positiva)
Por ultimo entonces en la siguiente función ¿cuál seria el dominio y la imagen?
F(x)=(4-x^2)/(2-x)
Espero su respuesta. Disculpe, de antemano gracias.
F(x)=(4-x^2)/(2-x)
Espero su respuesta. Disculpe, de antemano gracias.
Por ser un cociente de polinomios es dominio es R menos los valores en que se anula el cociente R-{2}
La imagen:
Excepto en x=2 donde no esta definida la función podemos simplificar la función
F(x)=(2+x)(2-x)/(2-x)=2+x por lo que y=2+x --> x=y-2 --> la imagen es R menos la imagen del punto x=2 en que no está definida y=2-2=0 la imagen es R-{0}
La imagen:
Excepto en x=2 donde no esta definida la función podemos simplificar la función
F(x)=(2+x)(2-x)/(2-x)=2+x por lo que y=2+x --> x=y-2 --> la imagen es R menos la imagen del punto x=2 en que no está definida y=2-2=0 la imagen es R-{0}
