Función a la cuarta (biyectiva)
Junto con saludar le escribo por lo siguiente.
Tengo dudas en la realización del siguiente ejercicio:
Sea f(x)=8(x elevado a 4)-32(x elevado a 2)+32
Determine si es inyectiva y/o sobreyectiva. En el caso que sea biyectiva determine la inversa.
Ojalá me pudiera ayudar con ese ejercicio, he estado buscando en internet y no hay apuntes similares en la realización de ese ejercicio. Si usted me pudiera recomendar algún libro para poder estudiar sería fantástico.
1 Respuesta
La expresión se escribe así
f(x) = 8x^4 - 32x^2 + 32
Supongo que te piden si es inyectiva o sobreyectiva de R en R.
Pues por el simple hecho de ser un polinomio de grado 4 ya podemos decir que no es inyectiva y que no es sobreyectiva.
El límite de la función en -infinito es +infinito y en +infinito es +infinito. Como es continua y derivable tendrá un mínimo relativo al menos y el menor de ellos será un mínimo absoluto. Y tomará todos los valores intermedios entre ese mínimo y +infinito tanto antes como después del mínimo, luego habrá puntos donde f(x)=f(y) con x distinto de y.
Asimismo no será sobreyectiva porque los valores menores que ese mínimo no serán imagen de ningún valor.
Un polinomio de grado par con coeficiente director positivo es como una cuerda sujeta por los dos extremos con curvillas posibles dentro, pero sucede eso, que si tomamos la regla horizontal siempre la tocará por lo menos en dos puntos salvo en el mínimo que puede ser solo uno y por debajo que no la tocará.
Hay muchas referencias a nivel elemental. Con un nivel algo superior he encontrado esto, espero que te sirva, no lo he mirado completamente
Enlace
Y eso es todo.
Muchísimas gracias por su respuesta
El apunte está fantástico, así que me será de muchísima ayuda :D
Gracias
Atentamente Franunez
