Calcular para qué direcciones es continua una función

Tu pregunta tiene solución, ya vi que te la contestaron mal.

Pero ahora estoy muy liado con preguntas pendientes que no sabía responder y me tenían atascado y otras faenas. Cuando pueda te responderé.

Simplemente fíjate que tienes una errata, cuando das los valores para los que la función vale 3 pones aquellos en los que x^3+y^3-1=0 mientras que en la linea de arriba son los que x^2+y^2-1 es distinto de 0. Creo que donde has puesto exponentes 3 debías poner 2.

Venga, vamos a darle ya la respuesta definitiva a la pregunta.

Será continua para las direcciones donde

$$\lim_{(x,y) \to (1,0)}\frac{xy}{x^2+y^2-1}= 3$$

Una dirección queda determinada por una recta. Las rectas que pasan por el punto (1,0) tienen por ecuación y=p(x-1). Calcular el límite por una dirección es calcularlo a través de los puntos de esa recta, entonces podemos dejar el límite en función de una sola variable.

$$\begin{align}&\lim_{x \to 1}\frac{xp(x-1)}{x^2+p^2(x-1)^2-1}= 3\\ &\\ &\\ &\text{Podemos poner el denominador de forma que x-1 sea factor común}\\ &\text{que es necesario para deshacer la indeterminación}\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 1}\frac{xp(x-1)}{(x+1)(x-1)+p^2(x-1)^2}= 3\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 1}\frac{xp(x-1)}{(x-1)[x+1+p^2(x-1)]}= 3\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 1}\frac{xp}{x+1+p^2(x-1)}= 3\\ &\\ &\\ &\frac{p}{2}=3\\ &\\ &p=6\\ &\\ &\text{Luego la dirección es la de pendiente 6, la de los puntos}\\ &\text{(x, 6x-6)}\\ &\\ &\\ &\text{Eso es todo, un saludo.}\end{align}$$

Buenas tardes valeroasm!!

Lo primero de todo, te agradezco muchísimo que te tomes la molestia y dediques una parte de tu escaso tiempo en contestarme. Sé de buena tinta que estás muy liado éstos días, pues he tratado de contactar contigo en varias ocasiones y me ha sido imposible!! Aún así, veo que no paras de contestar preguntas de otros usuarios, siempre que puedes. Ojalá todos los expertos fueran como tú, pues hay muchos expertos que ni siquiera se dignan a contestarte para decirte que no pueden ayudarte.

Voy a preguntarle al profesor y que me lo verifique, pues ya son muchas erratas las que presentan sus ejercicios. Aunque con lo que tarda en contestar...El caso es que el profesor ya ha resuelto el ejercicio y lo ha planteado de la siguiente forma:

$$lim_{?\to0}f(a+?v)= lim_{?\to0}f((1,0)+?(v,w))=lim_{?\to0}f(1+?v,?w)=lim_{?\to0}\frac{?w(1+?v)}{(1+?v)^2+(?w)^2-1=lim_{?\to0}\frac{?w(1+?v)}{1+2?v+2?^2v^2+?^2+w^2-1}=lim_{?\to0}\frac{w(1+?v)}{2v+2?v^2+?w^2=\frac{w}{2v}$$

Para que sea continua el límite direccional debe coincidir con el valor de la función:

$$\begin{align}&f(1,0)=3=\frac{w}{2v}\\ &\\ &w=6v\end{align}$$

Por tanto las dirección en el que es continua la función es (v,6v).

No sé si se entenderá bien, aún no sé manejarme muy bien con la opción de "insertar fórmulas matemáticas" del foro. Si algo no entiendes me lo dices y lo explico de otra forma.

En el ejercicio en sí, veo varios errores en las fórmulas. Imagino que lo hará para que no nos copiemos. Pero es absurdo copiar literalmente un ejercicio cuando no sabes de donde salen las fórmulas, al menos yo lo veo así...En realidad, casi sé como se hace, pero a partir del punto que aparece a continuación, no sé que hace para hallar los resultados. Intuyo que saca factor común en el denominador, pero me da la sensación de que sigue habiendo errores...

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Lo primero de todo voy a ver que me contesta con respecto a lo de los exponentes 3 y en cuanto lo sepa te cuento.

Dejo esta pregunta abierta, a la espera de que me respondas cuando tengas un hueco.

Gracias nuevamente por tu tiempo y dedicación,

Un Cordial Saludo!!

Perdona, Experto!!

No había visto que ya me habías contestado. No obstante, sigo teniendo algunas dudas respecto a tu última explicación:

1) ¿Cómo has hallado y=p(x-1)?

2) En la 3ª fórmula, en el denominador: (x+1)(x-1)+p^2(x-1)^2, ¿de donde sale (x+1)(x-1)?

3) En p/2=3 no veo de dónde sale el 2.

4) ¿Por qué la dirección de la pendiente de 6 dá (x,6x-6)

Perdona que te haga tantísimas preguntas, debe ser por la hora que no veo ya la mitad de los números...

A la espera de tu repuesta,

Gracias y Un Saludo!!

Pues algo ha sucedido y no sale el desarrollo del profe, no se entiende nada si no consigues que el editor de por bueno lo que has escrito.

Veo que el resultado es w=6v pero como no sé que significan w y v. A mi lo que me sale es que la pendiente es 6, pero que la pendiente sea 6 no significa que los puntos y sean 6 veces los x. Eso sería si el límite fuera en en el punto (0,0) pero estamos en el punto (1,0), ese 6 de pendiente significa que el punto y es 6(x-1).

Y respecto a lo del exponente mal puesto en el enunciado está claro que esta mal. Define la función de una forma para todos los puntos menos para unos, lo que debe hacer en la segunda línea es definir la función para aquellos puntos que no valía la primera definición.

Muchas gracias por tus palabras. Me han liado estos días con algunas preguntas difíciles porque de estadística no tengo estudios superiores, otras liosas como una integral donde para obtener la respuesta real había que pasar por el terreno de los complejos y el editor de ecuaciones también es insufrible porque cuando has escrito mas de dos líneas cada carácter nuevo que escribes lleva la ventana de gráficos al comienzo y no puedes ver lo que escribes en ese momento Algo que ya les he dicho a los responsables de la página y no sé que dificultad puedan tener para resolver algo que en 5 minutos debería estar controlado.

Ahora veo las nuevas dudas y las contestaré ahora mismo. Cuando escribimos los dos a la vez se hace difícil comunicarse.

Cuando me hacen preguntas de un nivel alto no explico minuciosamente los pasos por dos motivos. Puede que no los necesites y así tienes que esforzarte un poco en entenderlos.

1) Nosotros tenemos que llegar al punto (1,0) por una dirección.

La ecuación de las rectas que pasan por el punto (1,0) con vector(u, v)

(x-1)/u = (y-0)/v

uy = v(x-1)

y = (v/u)(x-1)

llamando p=u/v tenemos

y = p(x-1)

A través de puntos de esa recta que tienen la forma (x, p(x-1)) es como nos acercaremos al punto (1,0)

2) El denominador era

x^2 + p^2(x-1)2 - 1

Simplemente cambio el 1 de lugar

x^2 - 1 + p^2(x-1)^2

Y ya se ve los dos primeros términos son los de archiconocido producto notable

(x+1)(x-1) + p^2(x-1)^2

3) Ya hemos simplificado el término (x-1) que era el conflictivo. Ahora con dar a x el valor 1 ya sale el límite directamente.

el numerador es

xp = 1p = p

el denominador

x + 1+ p^2(x-1) = 1+1+p^2(1-1) = 2 +p^2(0) = 2

4) Pues ya lo he dicho varias veces, la pendiente es 6, con lo que la ecuación de la recta que pasa por (1,0) va a ser

y=6(x-1)

Que son los puntos de la forma (x, 6x-6)

Veo que la costumbre a calcular limites cuando tiende a (0,0) te está impidiendo entender este que es el el punto (1,0) y tiene algunas diferencias.

Si el límite fuera en (0,0) a una pendiente 6 correspondería la recta cuyos puntos son (x, 6x)

Pero al ser el límite en (1,0) los puntos de la recta tienen la forma (x, 6x-6).

De todos formas lo de la forma de los puntos de la recta es un añadido por mi cuenta. No es algo que te pregunten, luego olvidate de ello si te está causando problemas.

Simplemente di que la respuesta es:

La dirección que tiene pendiente 6

O dicho de otra forma

La dirección dada por el vector (1,6).