Demostración Triangulo
Hola... Tengo una duda.. Sobre un teorema que me dejaron demostrar... El teorema dice:
En cualquier triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es mayor que cualquiera de los ángulos internos y opuestos.
Tengo esta demostracion: [url=http://html.rincondelvago.com/logica-matematica_2.html]http://html.rincondelvago.com/logica-matematica_2.html
[/url] Dado ABC con el lado BC que se prolonga hasta DE, debemos demostrar que el ángulo DCA es mayor que los ángulos CBA o CAB. Inicialmente, Euclides corta por la mitad el lado AC en el punto E y luego traza la línea BE. Extender BE y luego construye EF = EB. Finalmente traza FC.
Comparando los triángulos AEB y CEF, Euclides advierte que AE = CE por la bisección; que los ángulos 1 y 2 son iguales y que EB = EF por construcción. Por tanto, los dos triángulos son congruentes por el patrón de congruencia (lado-ángulo-lado), de donde se sigue que los ángulos BAE = FCE. Pero el ángulo DCA es claramente mayor que FCE. Consecuentemente, el ángulo externo DCA es mayor que el ángulo interno opuesto BAC. Un argumento similar demuestra que el ángulo DCA también es mayor que ABC, completándose así la demostración.
Pero, en vez de decir, "¿un argumento similar" como puedo explicar eso? ...
En cualquier triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es mayor que cualquiera de los ángulos internos y opuestos.
Tengo esta demostracion: [url=http://html.rincondelvago.com/logica-matematica_2.html]http://html.rincondelvago.com/logica-matematica_2.html
[/url] Dado ABC con el lado BC que se prolonga hasta DE, debemos demostrar que el ángulo DCA es mayor que los ángulos CBA o CAB. Inicialmente, Euclides corta por la mitad el lado AC en el punto E y luego traza la línea BE. Extender BE y luego construye EF = EB. Finalmente traza FC.
Comparando los triángulos AEB y CEF, Euclides advierte que AE = CE por la bisección; que los ángulos 1 y 2 son iguales y que EB = EF por construcción. Por tanto, los dos triángulos son congruentes por el patrón de congruencia (lado-ángulo-lado), de donde se sigue que los ángulos BAE = FCE. Pero el ángulo DCA es claramente mayor que FCE. Consecuentemente, el ángulo externo DCA es mayor que el ángulo interno opuesto BAC. Un argumento similar demuestra que el ángulo DCA también es mayor que ABC, completándose así la demostración.
Pero, en vez de decir, "¿un argumento similar" como puedo explicar eso? ...
1 respuesta
Respuesta de canalrev
1
La parte del argumento similar sería
Dado ABC con el lado BC que se prolonga hasta DE, debemos demostrar que el ángulo DCA es mayor que el ángulo ABC. Inicialmente, Euclides corta por la mitad el lado BC en el punto G y luego traza la línea AG. extender AG y luego construye GH = GA. Finalmente traza HC.
Comparando los triángulos BGA y CGH, Euclides advierte que BG = CG por la bisección; que los ángulos 1 y 2 son iguales y que GA = GH por construcción. Por tanto, los dos triángulos son congruentes por el patrón de congruencia (lado-ángulo-lado), de donde se sigue que los ángulos ABG = HCG. Pero el ángulo DCA es claramente mayor que HCG. Consecuentemente, el ángulo externo DCA es mayor que el ángulo interno opuesto BAC.
Completándose así la demostración.
Creo que es esto lo que necesitas, si es algo más o no me he expresado bien no dudes en preguntar.
Dado ABC con el lado BC que se prolonga hasta DE, debemos demostrar que el ángulo DCA es mayor que el ángulo ABC. Inicialmente, Euclides corta por la mitad el lado BC en el punto G y luego traza la línea AG. extender AG y luego construye GH = GA. Finalmente traza HC.
Comparando los triángulos BGA y CGH, Euclides advierte que BG = CG por la bisección; que los ángulos 1 y 2 son iguales y que GA = GH por construcción. Por tanto, los dos triángulos son congruentes por el patrón de congruencia (lado-ángulo-lado), de donde se sigue que los ángulos ABG = HCG. Pero el ángulo DCA es claramente mayor que HCG. Consecuentemente, el ángulo externo DCA es mayor que el ángulo interno opuesto BAC.
Completándose así la demostración.
Creo que es esto lo que necesitas, si es algo más o no me he expresado bien no dudes en preguntar.
Hola.. Supongo que al final quisiste decir: El angulo externo DCA es mayor que el ángulo interno opuesto ABC...
La parte donde dices "ángulo DCA es "claramente" mayor que HCG" ... el claramente en una demostración, es válido..¿?
Grax =)
La parte donde dices "ángulo DCA es "claramente" mayor que HCG" ... el claramente en una demostración, es válido..¿?
Grax =)
Tienes razón, perdón por mi error es ABC.
El paso claramente siempre tiene mucho peligro, lo explico más detalladamente.
El ángulo HCG es el mismo que el ángulo DCF (la F del apartado anterior, aunque no es necesario que demostremos que es F, es suficiente con que cojamos la prolongación del lado HC y tomar un punto cualquiera de esa prolongación) (por ser opuestos por el vértice y formados por las mismas rectas)
Y el ángulo DCF es menor que el DCA por estar contenido en el, por lo que DCA es mayor que HCG y por lo tanto que ABC.
Espero haberme explicado mejor esta vez, Y siento mucho no haber sido más claro.
El paso claramente siempre tiene mucho peligro, lo explico más detalladamente.
El ángulo HCG es el mismo que el ángulo DCF (la F del apartado anterior, aunque no es necesario que demostremos que es F, es suficiente con que cojamos la prolongación del lado HC y tomar un punto cualquiera de esa prolongación) (por ser opuestos por el vértice y formados por las mismas rectas)
Y el ángulo DCF es menor que el DCA por estar contenido en el, por lo que DCA es mayor que HCG y por lo tanto que ABC.
Espero haberme explicado mejor esta vez, Y siento mucho no haber sido más claro.
