Dónde es positivo el polinomio

El signo depende del signo de cada factor, es decir, del cada uno de los números que se está multiplicando.
En primer lugar tienes que para los valores
+1/2 ; -1/2 ; -2 y 1 es nulo, =0.
Ahora el primer factor
(X + 1/2)^4 >0 es decir siempre es positivo, al ser una potencia par, puedes hacer la prueba para algunos valores.
El factor
(x+2)^2 >0, le ocurre lo mismo que el anterior.
Entonces el signo únicamente depende de
(x-1/2)^5 y de (x-1)
Entonces vamos a analir el signo de estos dos factores
x - 1 > 0 si x > 1 entonces ese factor es positivo si x >1
el otro factor
(x-1/2)^5 > 0 sii x - 1/2 > 0 sii
x > 1/2
Entonces el polinomio será positivo cuando esos dos factores sean positivos y cuando los dos sean negativos(ya sabes por eso de "menos por menos = más".
Entonces el producto (x-1/2)^5(x - 1) es positivo si
x > 1 y x > 1/2 esto es si x > 1
y también será positivo si los dos son negativos, es to es
x < 1 y x < 1/2 y esto se cumple si x < 1/2, porque para valores entre 1/2 y 1 los dos factores tienen signos diferentes y entonces el polinomio será negativo.
Concluyendo, la solución bueno es la 4.