Problema matemático de geometría

27a
El triangulo equilátero de más a la derecha el que hay encima del hexágono de la derecha, por triángulos semejantes al que hay en el centro, ese que parece un rombo, abajo en la unión de los 3 hexágonos.
El "diámetro" del hexágono pequeño es la suma del lado y de las bases de los triángulos que hay a los lados del romboide que se forma dividiendo el hexágono por la mitad horizontal
3cm
  /------\
 / |    |  \ 3cm
/  |    |   \
x  lado  x
|----------| diámetro=6cm
Para calcular x hacemos:
        /| 30º
3cm / |
      /  |
     |---|
       x
sin30=x/3 ->x=3*sin30=3*0.5=1.5cm.
Por lo tanto el "diámetro" del hexágono es 1.5+1.5+3=6cm
El triángulo invertido que hay a la derecha del hexágono de la derecha, por triángulos semejantes es el mismo que el formado por 2 vértices y el centro del hexágono.
 /       \
/         \ La parte derecha del hexágono grande
-----      |
     \    /
      \ / ->La longitud de los lados de este triángulo es la misma que los lados de los hexágonos
____\/
       /
___/
Por lo tanto el "diámetro" del hexágono grande es la suma del diámetro del hexágono de la izquierda, más 2 lados, más otro lado del triángulo explicado arriba.
Y esto da 6+3+3+3=15 cm.
Por tanto el lado del hexágono grande mide 7.5 cm( Como el diámetro del pequeño era el doble que el lado, entonces el lado del grande ha de ser la mitad del "diámetro")
Para averiguar la apotema hacemos
Centro del hexágono
   |  
   v
  /|\ apotema
 / | \
/_|_\ 60º
  3cm
tan60=apotema/1.5 (No 3cm porque es la mitad)
apotema=1.5*tan60=3*raiz(3)/2 =raiz(27)/2
Por el Teorema de Tales de polígonos semejantes, si el diámetro del pequeño es de 6cm y el grande es de 15cm.
El Teorema de Tales es como hacer una regla de 3 con los polígonos.
Entonces el área del hexágono mayor es 15/6 veces más grande que la del pequeño
El área del hexágono pequeño es perimetro *apotema/2 y esto es 3cm*6lados*raiz(27)/2=46.765 cm2.
Por lo tanto el área del grande es 7.5*6*raiz(27)/2*(15/6)/2=146.1417 cm2
Por lo tanto la parte sombreada es 146.1417-3*46.765=5.846 cm2
27b
Lado hexagono 3cm
El cuadrado interior tiene de lado el lado del hexágono, por tanto su superficie es 3*3=9 cm2
Para saber el tamaño del cuadrado grande sumamos en linea recta de abajo a arriba, que es más fácil de ver, que cruce el lado del cuadrado pequeño.
Tenemos que el triángulo formado por 2 lados y un tercer lado que no sabemos que longitud tiene. Este lado desconocido por 2 más el lado del cuadrado pequeño que coincide con el lado del hexágono es la altura del cuadrado
Utilizamos el teorema de pitágoras con uno de los lados. Se supone que esto es un lado del hexágono.
        /| 30º      
3cm / |
      /  |
     |----
      \  |  /
3cm \ | /
30º \|/<-- Forma 30º porque es la mitad del ángulo correspondiente al ángulo equilatero, por triángulos semejantes, es el mismo triángulo equilatero pero al revés que el que forma el centro del hexágono con cada uno de los vértices.
El lado en linea recta es
Si el hexágono tiene 6 ángulos, y hay 360 grados entonces cada ángulo es de 360/6=60º
cos30=x/3->x=3*cos30=3*0.866=2.58 cm
Por lo tanto el cuadrado tiene de lado 2.58*2+3+2.58*2=13.39cm
Para averiguar la apotema hacemos parecido a lo anterior
  /|\ apotema
 / | \
/_|_\ 60º
  3cm
tan60=apotema/1.5 (No 3 porque es la mitad)
apotema=1.5*tan60=3*raiz(3)/2 =raiz(27)/2
La superficie total de los hexágonos es 4 hexágonos*Perimetro*apotema/2=4*(3*6)*(raiz(27)/2)/2=93.53 cm2
La superficie del cuadrado grande es S=lado^2=13.39^2=179.354 cm2
Por tanto la superficie sombreada es 179.354-93.53= 85.824 cm2
28a
Averguamos la distancia de la esquina hasta el punto donde el círculo toca al triángulo por la parte de abajo
Al ser un triángulo equilátero los vértices tienen 60º.
La distancia entre las por es la mismna que la distancia entre las por y la y.
          \x1
  0.8/   \   Los paréntesis son el círculo
      .o   |\
  0.8|    ) \
        |   )   \
(_x2)______\y
El ángulo entre x1 y x2 es de 60 entonces el ángulo entre o-x2-x1 es de 30º (90º-60º=30º) y lo mismo pasa desde la perspectiva de x1.
Por tanto el ángulo que hay en el centro es de 120º(180º-30º-30º=120º).
Entonces por el teorema del seno, no se si te lo han explicado o no, hacemos
sin 30/0.8(El radio del círculo)=sin 120/(distancia entre x1 y x2)
distancia entre x1 y x2=sin 120*0.8/sin 30=1.38564 m
Entonces la base mide la distancia entre x2 e y, que es la misma que entre x1 y x2 multiplicada por 2 más 2* radio de los círculos.
Entonces la base da 1.38564*2+(1.6/2)*2=4.371m
Entonces la altura es
Tan 60=h/(base/2)->base*tan 60/2 (porque cogemos la mitad de la base porque usamos un ángulo recto)
Esto da 3.7856 m
La superficie del triángulo es de 4.371*3.7856/2=8.27405m2
Superficie de los círculos
3*pi*(1.6/2)^2=6.031m2
La diferencia es de 8.27405-6.031=2.24305m2
28b
Averiguamos la distancia entre o1, el centro del círculo izquierdo, y c, el centro de la círculo grande.
   .o1  ) .c
    v ^
       ( .o2)
En ángulo entre o1-c-o2 es de 90º por lo tanto, y los ángulos c-o1-o2 y el de o1-o2-c son de 45º((180º-90º)/2=45º), por tanto, por el teorema del seno hacemos.
sin 90/(2*radio)=sin 45/x
x=(2*radio)*sin45/sin 90=1.13137m la distancia entre o1-c y o2-c. Como queremos averiguar el tamaño de la círculo grande, le añadimos los 0.8m (radio del círculo pequño) que faltan para llegar al borde
1.13137+0.8=1.9314m es el radio del círculo grande.
El área de los círculos  pequeños es
A=4*pi*(1.6/2)^2=8.0425m2
Area del círculo grande
A=pi*1.91314^2=11.5m2
Por tanto la diferencia es 11.5-8.0425=3.4575 m2