Demostrar si es un espacio vectorial.

En este caso hay que demostrar todas las propiedades una por una.

Antes de nada veremos que son operaciones internas.

Si x,y € R+ entonce xy € R+

Si x € R+ y k € R entonces x^k € R+

1) La operación suma como vectores que es una multiplicación de números reales es conmutativa

2) También es asociativa

3) El elemento neutro es el 1 y pertenece a R+, luego hay elemento neutro

4) El elemento inverso de x es 1/x € R luego todo elemento tiene su inverso

Y ahora las propiedades de la operación producto por escalar que es una expoenciación, va a ser un lio distinguir lo que es la operación genérica de la particular en R

5) Asociativa: a(bu) = (ab)u con a,b€K y u € V

a(bu) = (bu)^a = (u^b)^a = u^(ba)

(ab)u = u^(ab)

6) el 1 sea elemento neutro del producto

1u = u^1 = u

7) distributiva del producto respecto de la suma de vctores : a(u+v) = au + av con a € K y u,v€V

Aqui el lío va a ser monumental

a(u+v) = (u+v)^a = (uv)^a

au + av = u^a+vâ = (u^a)(v^a) = (uv)^a

8) distributiva del producto respecto de la suma de escalares: (a+b)u = au+bu con a,b €K, u€V

Y esta tambíen es liosa

(a+b)u = u^(a+b)

au+bu = u^a+u^b = (u^a)(u^b) = u^(a+b)

Y se han cumplido todas las propiedades, luego es un espacio vectorial.

Y eso es todo, si no entiendes algo dímelo, porque no es difícil pero si muy lioso lo de estas operaciones.

cuando te refieres a que El elemento neutro es el 1 y pertenece a R+, luego hay elemento neutro hablas con respecto a la suma o con respecto al producto, y otra cosa:

hay que demostrar la existencia del vector cero o nulo del espacio vectorial siempre ? o por el hecho que sean los números reales positivos uno puede decir que el cero no hace parte del conjunto, es que tengo la duda si el vector cero es lo mismo que el numero cero en este conjunto.

estoy en lo cierto al decir si el vector cero puede estar aunque el conjunto sea el delos números reales positivos y como se demostraría??

muchas gracias.