Deducir fórmula geometría
A) Deduce la fórmula del área del pentágono regular
Y
b) Deduce la fórmula del volumen de un ortoedro
Y
b) Deduce la fórmula del volumen de un ortoedro
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Tomamos el pentágono inscrito en una circunferencia de radio R y dividimos la circunferencia en 5 sectores circulares iguales. Cada uno de estos sectores mide 72º y contiene un lado. Debemos calcular el apotema y el lado del pentágono. Si trazamos la bisectriz cortamos en perpendicular al lado del pentágono formándose 2 triángulos rectángulos de 36º. De las relaciones métricas que hay en los triángulos rectángulos podemos obtener:
apotema = R·cos 36º [1]
lado = 2R·sen 36º [2]
Area = perímetro · apotema / 2 =
numero lados · lado · apotema / 2 =
5 · sen 36º · cos 36º · R^2 =
2,3776413 · R^2
Si has dado las fórmulas de adición de ángulos sabrás que podemos ponerlo de esta otra forma:
Area = (5/2) · sen 72º · R^2
---------------
Lo dicho sirve si lo que conocemos es el radio, veamos ahora la fórmula si lo que nos dan es el lado.
Despejamos R en la igualdad [2]
R = lado / (2 sen 36º)
Y lo sustituimos en la fórmula Area = 5 · sen 36º · cos 36º · R^2 dando
Area = 5 · sen 36º · cos 36º · lado^2 / (4 · (sen 36º)^2) =
(5/4) (cos 36º / sen 36º) · lado^2 =
(5/4) (ctg 36º) lado^2 =
1,7204774 · lado^2
------------
Si nos dan el perímetro (p) la fórmula sin mucha demostración es:
Area = [(ctg 36) / 20] · p^2 = 0,068819 · p^2
------------
Si nos dan el apotema despejamos el radio en la igualdad [1]
apotema = R·cos 36º
R = apotema / cos 36º
y lo sustituimos en Area = 5 · sen 36º · cos 36º · R^2 dando
Area = 5 · sen 36º · cos 36º · apotema^2 / (cos 36º)^2 =
5 (sen 36º / cos 36º) · apotema^2 =
5 · tg 36º · apotema^2 =
3,6327126 · apotema^2
-------------
Finalmente el caso que no merece ni comentarse que es si nos dan perímetro (o lado) y apotema:
Area = perimetro · apotema / 2
---------------
apotema = R·cos 36º [1]
lado = 2R·sen 36º [2]
Area = perímetro · apotema / 2 =
numero lados · lado · apotema / 2 =
5 · sen 36º · cos 36º · R^2 =
2,3776413 · R^2
Si has dado las fórmulas de adición de ángulos sabrás que podemos ponerlo de esta otra forma:
Area = (5/2) · sen 72º · R^2
---------------
Lo dicho sirve si lo que conocemos es el radio, veamos ahora la fórmula si lo que nos dan es el lado.
Despejamos R en la igualdad [2]
R = lado / (2 sen 36º)
Y lo sustituimos en la fórmula Area = 5 · sen 36º · cos 36º · R^2 dando
Area = 5 · sen 36º · cos 36º · lado^2 / (4 · (sen 36º)^2) =
(5/4) (cos 36º / sen 36º) · lado^2 =
(5/4) (ctg 36º) lado^2 =
1,7204774 · lado^2
------------
Si nos dan el perímetro (p) la fórmula sin mucha demostración es:
Area = [(ctg 36) / 20] · p^2 = 0,068819 · p^2
------------
Si nos dan el apotema despejamos el radio en la igualdad [1]
apotema = R·cos 36º
R = apotema / cos 36º
y lo sustituimos en Area = 5 · sen 36º · cos 36º · R^2 dando
Area = 5 · sen 36º · cos 36º · apotema^2 / (cos 36º)^2 =
5 (sen 36º / cos 36º) · apotema^2 =
5 · tg 36º · apotema^2 =
3,6327126 · apotema^2
-------------
Finalmente el caso que no merece ni comentarse que es si nos dan perímetro (o lado) y apotema:
Area = perimetro · apotema / 2
---------------
Espera, que ahora que repaso me doy cuenta que no hice la parte del ortoedro. Luego la haré que ahora no puedo.
El problema del ortoedro es un mal menor comparado con lo que hemos hecho para el pentágono.
El ortoedro es como una caja de zapatos para entendernos. Tiene tres dimensiones la longitud, la profundidad y la altura. Llamemoslas a, b y c.
El área de la base será
A= ab
Y para obtener el volumen se multiplica el área de esta base por la altura.
V = abc
Y es eso, no tiene mayor interés ni complicación. Espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
El ortoedro es como una caja de zapatos para entendernos. Tiene tres dimensiones la longitud, la profundidad y la altura. Llamemoslas a, b y c.
El área de la base será
A= ab
Y para obtener el volumen se multiplica el área de esta base por la altura.
V = abc
Y es eso, no tiene mayor interés ni complicación. Espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
