Limites de la sucesión a^n/n! Cuando n-->infinito
Les agradecería muchísimo si me pudieran resulver ese limites y era también para saber si yo tengo e^n*ln(n), ¿eso se podría escribir como n*n o no? ¿Y por qué? ¿Cómo se pueden utilizar los exponenciales con el ln?
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
La respuesta es que el límite es cero y es sencillo verlo.
Tanto numerador como denominador se componen de n factores y cuando n tiende a infinito es mucho mayor que a
a^n = a · a · a · a ··· a (n veces)
n! = n(n-1)(n-2)(n-3)··· a(a-1)(a-2)···1
a^n / n! = a/n · a/(n-1) · a/(n-2) · a/(n-3) ··· (a/a)[a/(a-1)][a/(a-2)]··· (a/1)
La cola, a partir de (a/a) es una constante k=(a^a)/a!
Los elementos primeros, hasta a/(a+1) son todos menores que 1, luego su producto será menor que 1. Voy a quedarme simplemente con el primero de todos, el producto de los demás lo mayoraré con 1.
Para todo n > a se cumple
a^n / n! < a/n · 1 · k = ak/n = C/n Con C otra constante
luego lim n --> infinito de a^n / n! <= lim n --> infinito de C / n = 0
El limite pedido es <= 0, pero como es positivo, es simplemente cero.
-------------------
Bueno, imagino que querías poner:
e^(n*ln(n))
Porque sin ese paréntesis lo que ponías era equibvalente a
(e^n)*ln(n)
que es muy distinto.
Entonces, suponiendo que ponías
e^(n*ln(n))
Si es cierto. Por propiedades de los logaritmos
e^(n*ln(n)) = e^(ln(n^n)) =
Y ahora por ser el logaritmo y la exponencial funciones inversas
= n^n
--------------
Pues como te indica este ejemplo de arriba, al ser funciones inversas dan la identidad cuando se componen entre sí (juntan).
e^(ln[f(x)]) = f(x)
ln(e^[f(x)]) = f(x)
Y las dos propiedades de los logaritmos que también puedes usar relacionadas con exponentes que son:
ln(x^n) = n ln(x)
ln(raiz enesima de x) = ln(x) / n
Y para no dejarnos nada las del producto y división:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y) = ln(x) - ln(y)
Y eso es todo, espero que te sirv y lo hallas entendido. No olvides puntuar el máximo para cerrar la pregunta.
Tanto numerador como denominador se componen de n factores y cuando n tiende a infinito es mucho mayor que a
a^n = a · a · a · a ··· a (n veces)
n! = n(n-1)(n-2)(n-3)··· a(a-1)(a-2)···1
a^n / n! = a/n · a/(n-1) · a/(n-2) · a/(n-3) ··· (a/a)[a/(a-1)][a/(a-2)]··· (a/1)
La cola, a partir de (a/a) es una constante k=(a^a)/a!
Los elementos primeros, hasta a/(a+1) son todos menores que 1, luego su producto será menor que 1. Voy a quedarme simplemente con el primero de todos, el producto de los demás lo mayoraré con 1.
Para todo n > a se cumple
a^n / n! < a/n · 1 · k = ak/n = C/n Con C otra constante
luego lim n --> infinito de a^n / n! <= lim n --> infinito de C / n = 0
El limite pedido es <= 0, pero como es positivo, es simplemente cero.
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Bueno, imagino que querías poner:
e^(n*ln(n))
Porque sin ese paréntesis lo que ponías era equibvalente a
(e^n)*ln(n)
que es muy distinto.
Entonces, suponiendo que ponías
e^(n*ln(n))
Si es cierto. Por propiedades de los logaritmos
e^(n*ln(n)) = e^(ln(n^n)) =
Y ahora por ser el logaritmo y la exponencial funciones inversas
= n^n
--------------
Pues como te indica este ejemplo de arriba, al ser funciones inversas dan la identidad cuando se componen entre sí (juntan).
e^(ln[f(x)]) = f(x)
ln(e^[f(x)]) = f(x)
Y las dos propiedades de los logaritmos que también puedes usar relacionadas con exponentes que son:
ln(x^n) = n ln(x)
ln(raiz enesima de x) = ln(x) / n
Y para no dejarnos nada las del producto y división:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y) = ln(x) - ln(y)
Y eso es todo, espero que te sirv y lo hallas entendido. No olvides puntuar el máximo para cerrar la pregunta.
