Ejercicio de límtes con coseno

Pues tiene toda la pinta de que se tenga que resolver por logaritmos. El limite de un logaritmo es lo mismo que el logaritmo del límite y gracias a eso se solucionan algunos límites.

Sea L el límite:

lim x-->0 de [cos(x)]^(1/x^2) = L

Tomamos logaritmos en los dos lados

ln{lim x-->0 de [cos(x)]^(1/x^2)} = ln(L)

Ahora aplicamos esa propiedad que intercambia el ln con el lim

lim x-->0 de ln{[cos(x)]^(1/x^2)} = ln(L)

Y ahora aplicamos la propiedad de los logaritmos que dice

ln(a^b) = b·ln(a)

lim x-->0 de (1/x^2) ln[cos(x)] = ln(L)

lim x-->0 ln[cos(x)]/x^2 = ln(L)

Es un límite del tipo 0/0 que es una indeterminación y no conozco método directo de cálculo. Luego hay que usar la regla de l'Hôpital que dice que el limite del cociente de dos funciones que tienden ambas a 0 a ambas a infinito es el límite del cociente de las derivadas. Y que si no sirve con hacerlo una vez se puede realizar más veces.

(ln[cos(x)])' = -sen(x)/cos(x) = - tg(x)

(x^2)' = 2x

Va a dar lo mismo, el cociente es un límite del tipo 0/0, derivamos otra vez

(-tg(x))' = -(1+tg^2(x))

Puede que a tí te hayan dado otra definición de la derivada de la tangente, pero es equivalente

(2x)' = 2

Y ahora ya se eliminó la indeterminación, el límite es

lim x-->0 -(1+tg^2(x)) / 2 = -1/2

Luego tenemos volviendo arriba que

-1/2 = Ln(L)

L = e^(-1/2) = 1/sqrt(e)

La verdad es que con un límite de este tipo no te quedas del todo seguro si lo hiciste bien. Para asegurarme he hecho la gráfica.

1/sqrt(e) = 1/1.6487213 = 0,60653

Y he comprobado que por ahí va la función cuando x = 0, eso me asegura que no haya tenido algún pequeño fallo.

Y eso es todo.