Encontrar divisores comunes
Hola valeroasm:
Necesitaría ayuda con este ejericico: encontrar todos los divisores comunes a los números 7560 y 53460.
Muchas gracias.
Necesitaría ayuda con este ejericico: encontrar todos los divisores comunes a los números 7560 y 53460.
Muchas gracias.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Descomponemos en factores primos mediante divisiones sucesivas por 2,3,5,7,11, lo que se pueda. Y queda
7560 = 2^3 · 3^3 · 5 · 7
53460 = 2^2 · 3^5 · 5 · 11
El Máximo Común Divisor es los comunes con mímimo exponente
mcd(7560, 53460) = 2^2 · 3^3 · 5
Y el número de divisores es el producto de los exponentes incrementados cada uno en una unidad.
Los exponentes son 2,3,1, incrementados en ubna unidad son 3, 4, 2
por lo tanto hay 3 · 4 · 2 = 24 divisores comunes
Se obtienen como los sumandos de este producto:
(1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9 + 27)(1 + 5)
Son
1, 5, 3, 15, 9, 45, 27, 135
2, 10, 6, 30, 18, 90, 54, 270
4, 20, 12, 60, 36, 180, 108, 540
Puestos en orden
1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540
Y eso es todo.
7560 = 2^3 · 3^3 · 5 · 7
53460 = 2^2 · 3^5 · 5 · 11
El Máximo Común Divisor es los comunes con mímimo exponente
mcd(7560, 53460) = 2^2 · 3^3 · 5
Y el número de divisores es el producto de los exponentes incrementados cada uno en una unidad.
Los exponentes son 2,3,1, incrementados en ubna unidad son 3, 4, 2
por lo tanto hay 3 · 4 · 2 = 24 divisores comunes
Se obtienen como los sumandos de este producto:
(1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9 + 27)(1 + 5)
Son
1, 5, 3, 15, 9, 45, 27, 135
2, 10, 6, 30, 18, 90, 54, 270
4, 20, 12, 60, 36, 180, 108, 540
Puestos en orden
1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540
Y eso es todo.
Una duda... no comprendo de dónde salen estos números de este producto:
(1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9 + 27)(1 + 5)
(1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9 + 27)(1 + 5)
Es una cosilla de matemática superior algo difícil de explicar, pero es así.
Si un número se descompone así en factores primos
n = p1^k1 · p2^k2 ···· pr^kr
Sus divisores son los sumandos de este producto:
(1 + p1 + p1^2 + ....+p1^k1) (1 + p2 + ...+ p2^k2)···(1 + pr + ...+ pr^kr)
La vi en un libro y nadie me la demostró, pero se puede demostrar que funciona. Todo sumando de ahí será producto de primos que dividen a n, luego sera un divisor. Y aparte se puede demostrar que con eso salen todos.
Si un número se descompone así en factores primos
n = p1^k1 · p2^k2 ···· pr^kr
Sus divisores son los sumandos de este producto:
(1 + p1 + p1^2 + ....+p1^k1) (1 + p2 + ...+ p2^k2)···(1 + pr + ...+ pr^kr)
La vi en un libro y nadie me la demostró, pero se puede demostrar que funciona. Todo sumando de ahí será producto de primos que dividen a n, luego sera un divisor. Y aparte se puede demostrar que con eso salen todos.
