Duda sobre geometría (puntos colineales)
Me dan 3 puntos colineales A,B,C y un D cualquiera (colineal o no). Entonces se cumple que: (DA)^2 · BC + (DB)^2 · CA + (DC)^2 · AB + AB·BC·CA=0
(Considerar dos casos: DE colineal a A, B, C y el caso de que DE no este en la recta, trazar una perpendicular de DE a la linea).
El problema con esto es que yo no se que puedo usar, lo más parecido que tengo es un teorema que dice: Sean A, B, C, DE colineales entonces AB·CD+AC·DB+AD·BC=0, pero no se que hacer, ni entiendo lo que quiere con (DA)^2,(DB)^2,(DC)^2...
(Considerar dos casos: DE colineal a A, B, C y el caso de que DE no este en la recta, trazar una perpendicular de DE a la linea).
El problema con esto es que yo no se que puedo usar, lo más parecido que tengo es un teorema que dice: Sean A, B, C, DE colineales entonces AB·CD+AC·DB+AD·BC=0, pero no se que hacer, ni entiendo lo que quiere con (DA)^2,(DB)^2,(DC)^2...
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Ya te decía en una pregunta anterior que me gustaría saber que estudias. Eso ayuda bastante para saber que herramientas puedo usar y cuales no. También el tipo de geometrá que estas dando, no es lo mismo geometría proytectiva que geometría analítica.
Es que me sorprende esto que dices:
"ni entiendo lo que quiere con (DA)^2,(DB)^2,(DC)^2..."
Eso son simplemente los cuadrados de la longitud de los segmentos.
Dime si ahora ya lo entiendes.
No sé cuantos teoremas de esos tienes. Pero como yo no sé cuáles son, tendría que empezar de cero con la demostración y a lo mejor mi demostración no es como la que te piden.
Y a me dirás que más puedo hacer.
Es que me sorprende esto que dices:
"ni entiendo lo que quiere con (DA)^2,(DB)^2,(DC)^2..."
Eso son simplemente los cuadrados de la longitud de los segmentos.
Dime si ahora ya lo entiendes.
No sé cuantos teoremas de esos tienes. Pero como yo no sé cuáles son, tendría que empezar de cero con la demostración y a lo mejor mi demostración no es como la que te piden.
Y a me dirás que más puedo hacer.
Si yo se que es el cuadrado de una longitud, pero es que en esta geometría no usamos coordenadas, osea que no tiene que ver con geometría analítica... creo que se le llamaría euclideana aunque en mi escuela le llaman moderna... pero yo no concuerdo con el nombre
Por eso t digo que el teorema que más relación le veo es Sean A, B, C, DE colineales entonces AB·CD+AC·DB+AD·BC=0... pero pues se me ocurrió sustituir DA como suma de segmentes de manera que pueda factorizar algo, no se si me servirá
Por eso t digo que el teorema que más relación le veo es Sean A, B, C, DE colineales entonces AB·CD+AC·DB+AD·BC=0... pero pues se me ocurrió sustituir DA como suma de segmentes de manera que pueda factorizar algo, no se si me servirá
Algunas veces no sirven teoremas anteriores, es simplemente sustituir valores y veré que se cumple una igualdad.
¿Es la geometría esa en la que te hablan de los puntos del infinito y la recta del infinito y que se usa mucho la razón doble?
Esa es la geometría proyectiva. Tiene miles y miles de teoremas, a cualquier cosa le llaman teorema en esa geometría.
Pues ya me dirás si tengo que hacerlo o te dejo que lo hagas. Cuando tu me digas intento resolverlo yo.
¿Es la geometría esa en la que te hablan de los puntos del infinito y la recta del infinito y que se usa mucho la razón doble?
Esa es la geometría proyectiva. Tiene miles y miles de teoremas, a cualquier cosa le llaman teorema en esa geometría.
Pues ya me dirás si tengo que hacerlo o te dejo que lo hagas. Cuando tu me digas intento resolverlo yo.
jajaja cualquier cosa XD
Pues es verdad que nos han mencionado que el punto al infinito hace cosas raras pero todavía no llegamos a ese nivel (soy de primer semestre) y si la razón doble se usa mucho...
Como sea ya hice eso de sustituir por suma de segmentos y me salio más caro ¬¬ nada más ya no puedo hacer nada con ellos... ademas hacer eso solo seria posible si el punto DE es colineal a A, B, C, en otro caso no se que hacer...
Pues si fueras tan amable de intentarlo, ¿plis? Yo ya tengo la vista muy nublada con este problema
Pues es verdad que nos han mencionado que el punto al infinito hace cosas raras pero todavía no llegamos a ese nivel (soy de primer semestre) y si la razón doble se usa mucho...
Como sea ya hice eso de sustituir por suma de segmentos y me salio más caro ¬¬ nada más ya no puedo hacer nada con ellos... ademas hacer eso solo seria posible si el punto DE es colineal a A, B, C, en otro caso no se que hacer...
Pues si fueras tan amable de intentarlo, ¿plis? Yo ya tengo la vista muy nublada con este problema
(DA)^2 · BC + (DB)^2 · CA + (DC)^2 · AB + AB·BC·CA=0
Voy a probar. Como hice en un ejercicio anterior tomaré un punto origen O. Y para que las distancias a ese punto sean todas positivas lo pondré a la izquierda de todos ellos.
Entonces llamaremos a=OA, b=OB, c=OC, d=OD. Sustituyendo tendremos:
(c-b)(d-a)^2 + (a-c)(b-d)^2 + (b-a)(c-d)^2 +(b-a)(c-b)(a-c) =
Pues no veo nada que hacer más que operar y operar:
(c-b)(d^2 + a^2 - 2ad) + (a-c)(b^2 + d^2 - 2bd) + (b-a)(c^2 + d^2 - 2cd) + (b-a)(ac-c^2-ab+bc) =
(c-b+a-c+b-a)d^2 - 2d[a(c-b) + b(a-c) + c(b-a)] + a^2(c-b) + b^2(a-c) + c^2(b-a) + (abc-bc^2-ab^2+cb^2-ca^2+ac^2+ba^2-abc)=
0 · d^2 - 2d(ac-ab+ab-bc +bc-ac) + ca^2 - ba^2 + ab^2 - cb^2 + bc^2 - ac^2 + (- bc^2 - ab^2 + cb^2 - ca^2 + ac^2 + ba^2) =
Casualmente se anulan todos los sumandos del final.
0 + 2d(0) + 0 = 0
Y con eso queda demostrado si D es colineal con A, B y C.
Si DE no es colineal, llamémoslo E y llamemos DE al punto de corte de la perpendicular pasando por E con la recta de A, B y C. Sea e la distancia de E a la recta. Aplicamos el teorema de Pitágoras y tenemos:
EA^2 = DA^2 + e^2
EB^2 = DB^2 + e^2
EC^2 = DC^2 + e^2
Y vamos a la igualdad aplicada ahora con el punto E
(c-b)[(d-a)^2 + e^2] + (a-c)[(b-d)^2 + e^2]+ (b-a)[(c-d)^2+e^2] +(b-a)(c-b)(a-c) =
A simple vista vemos que esto es exactamente lo mismo que se demostró antes salvo este sumado
e^2(c-b +a-c +b-a) = 0
Perro como es se sumando es cero la demostración de lo otra es la misma que ya hicimos.
Y eso es todo. No olvides puntuar.
Voy a probar. Como hice en un ejercicio anterior tomaré un punto origen O. Y para que las distancias a ese punto sean todas positivas lo pondré a la izquierda de todos ellos.
Entonces llamaremos a=OA, b=OB, c=OC, d=OD. Sustituyendo tendremos:
(c-b)(d-a)^2 + (a-c)(b-d)^2 + (b-a)(c-d)^2 +(b-a)(c-b)(a-c) =
Pues no veo nada que hacer más que operar y operar:
(c-b)(d^2 + a^2 - 2ad) + (a-c)(b^2 + d^2 - 2bd) + (b-a)(c^2 + d^2 - 2cd) + (b-a)(ac-c^2-ab+bc) =
(c-b+a-c+b-a)d^2 - 2d[a(c-b) + b(a-c) + c(b-a)] + a^2(c-b) + b^2(a-c) + c^2(b-a) + (abc-bc^2-ab^2+cb^2-ca^2+ac^2+ba^2-abc)=
0 · d^2 - 2d(ac-ab+ab-bc +bc-ac) + ca^2 - ba^2 + ab^2 - cb^2 + bc^2 - ac^2 + (- bc^2 - ab^2 + cb^2 - ca^2 + ac^2 + ba^2) =
Casualmente se anulan todos los sumandos del final.
0 + 2d(0) + 0 = 0
Y con eso queda demostrado si D es colineal con A, B y C.
Si DE no es colineal, llamémoslo E y llamemos DE al punto de corte de la perpendicular pasando por E con la recta de A, B y C. Sea e la distancia de E a la recta. Aplicamos el teorema de Pitágoras y tenemos:
EA^2 = DA^2 + e^2
EB^2 = DB^2 + e^2
EC^2 = DC^2 + e^2
Y vamos a la igualdad aplicada ahora con el punto E
(c-b)[(d-a)^2 + e^2] + (a-c)[(b-d)^2 + e^2]+ (b-a)[(c-d)^2+e^2] +(b-a)(c-b)(a-c) =
A simple vista vemos que esto es exactamente lo mismo que se demostró antes salvo este sumado
e^2(c-b +a-c +b-a) = 0
Perro como es se sumando es cero la demostración de lo otra es la misma que ya hicimos.
Y eso es todo. No olvides puntuar.
