Algebraico de grado impar.
Hola! Ojalá me puedas ayudar.
Sea E un campo de extensión de F. Sea a en E algebraico de grado impar sobre F . Muestre que a^2 es algebraico de grado impar sobre F y que F(a)=F(a^2).
Es de álgebra abstracta, de la lista de libros donde viene el de Herstein.
Gracias.
1 Respuesta
Sea 2n+1 el grado del polinomio mínimo de a.
El campo F(a) son los valores para a de los polinomios de F(x)
El campo F(a^2) son valores para a^2 de polinomios de F(x)
Todo polinomio con a^2 se puede considerar un polinomio con a luego
F(a) inc= F(a^2) inc= F
donde inc= significa incluye o igual
Por el teorema 5.3.1
[F(a):F] = [F(a):F(a^2)] [F(a^2):F]
Sea m el grado de a^2 sobre F
2n+1 = [F(a):F(a^2)] m
a) Si [F(a):F(a^2)] = 1 no hay problema m = 2n+1 y es impar
b) Si es mayor de 1
[F(a):F(a^2)] no puede ser 2 porque a la izquierda sería impar y a la derecha par. Por lo mismo tampoco puede se par.
Llamemos k = [F(a):F(a^2)] k>=3
m = (2n+1) / k
Y existe un polinomio de grado m tal que a^2 vale 0
(a^2)^[(2n+1)/k] + .....+ c0 = 0
lo expresamos en función de a
a^[(2/k) (2n+1)] + .... + c0 = 0
Pero como k>= 3 tenemos que 2 / k < 1 y el exponente que tenemos en ese corchete es menor que 2n+1.
Esto es absurdo porque hemos encontrado un polinomio que anula a y tiene menor grado que su polinomio mínimo.
Luego no puede ser [F(a):F(a2)] mayor que 1, tiene que ser 1
Y entonces m=2n+1 que es impar y F(a)=F(a^2)
Y eso es todo.
