Probar que cada decimal periódico representa un numero racional

El decimal puede ser periódico puro o periódico mixto. Es puro si el periodo empieza en el primer decimal y es mixto si hay decimales al principio que no forman parte del periodo.

Si es periódico puro tomamos el numero entero formado por la parte entera y el periodo, le restamos la parte entera y lo dividimos entre tantos nueves como cifras tiene el periodo.

Sea n el número de cifras del periodo y sea r el número periódico, lo que queda es

(r·10^n - r) / [9 + 9·10 + 9·10^2 + ...+ 9·10^(n-1)] =

El denominador es 9 o 99 o 999... que se puede expresar más fácilmente como

(10^n) -1

Y en el numerador también se puede sacar factor común con lo cual queda

=r[(10^n) -1) / [(10^n)-1] = r

Mejor explicarlo con un número concreto

22.567 567 567 ....

el numero racional será

(22567 - 22) / 999 = 22545 / 999

que por cierto se puede simplificar y queda

835 / 37

Y la demostración es

(22567 - 22) / 999 =

(22567.567567... - 22.567567...) / 999 =

22.567567...(1000-1) / 999 =

22.567567... · 999 / 999 =

22.567567...

Y cuando el número es periódico mixto es muy similar, se multiplica y divide el número por 10, 100, 1000... lo que sea necesario para que sea un numero periódico puro y se hace lo mismo que hemos hecho.

La regal que queda es que se toma el número entero desde el principio hasta donde termina el primer periodo, se la resta el número entero que tiene la parte entera y los decimales no periódicos y se divide por un número con tantos nueves como cifras tiene el periodo y tantos ceros como decimales no periódicos.

Ejemplo:

1.23 781 781 781 ....

r = (123781 - 123) / 99900 = 123658 / 99900

La demostración empieza multiplicando y dividiendo entre 100

123. 781 781 781 .... / 100 =

ahora ya es periódico puro y aplicamos lo de antes

= [(123781 - 123) / 999] / 100 =

(123781 - 123) / 99900

Y eso es todo.