Números racionales, fracción generatriz y ubicaciones
Espero que me puedan ayudar en lo siguiente:
De acuerdo a la definición de un numero racional, es todo numero que se puede expresar de la forma a/b donde a y b son enteros, y al dividirlos se obtienen decimales periódicos y exactos, por lo tanto los números decimales periódicos o exactos tienen un fracción generatriz, pero 0.999... COMO QUE SE ESCAPA DE ESTE DEFINICIÓN, si tengo por ejemplo 2/9 y 7/9 puedo obtener su fracción generatriz de ambas 0.222... Y 0.777... Que puedo sumarlas al infinito como 0.9999... Pero al sumar la fracciones obtengo 1.
Mis preguntas son las siguiente ¿0.999 es un numero racional si es así cual es su fracción generatriz? ¿Si no lo es en que conjunto numérico lo ubico? ¿O puedo considerar que 0.999... Es igual a uno?
Gracias espero que puedan ayudarme en algo que estado pensando desde hace varios días
De acuerdo a la definición de un numero racional, es todo numero que se puede expresar de la forma a/b donde a y b son enteros, y al dividirlos se obtienen decimales periódicos y exactos, por lo tanto los números decimales periódicos o exactos tienen un fracción generatriz, pero 0.999... COMO QUE SE ESCAPA DE ESTE DEFINICIÓN, si tengo por ejemplo 2/9 y 7/9 puedo obtener su fracción generatriz de ambas 0.222... Y 0.777... Que puedo sumarlas al infinito como 0.9999... Pero al sumar la fracciones obtengo 1.
Mis preguntas son las siguiente ¿0.999 es un numero racional si es así cual es su fracción generatriz? ¿Si no lo es en que conjunto numérico lo ubico? ¿O puedo considerar que 0.999... Es igual a uno?
Gracias espero que puedan ayudarme en algo que estado pensando desde hace varios días
1 respuesta
Respuesta de ktantan
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La pregunta que haces es un clásico, la ffracción generatriz de 0.9999... es 1, tú mism@ lo expresas 0.222... +0.777...=0.999.... equivalente a 2/9 + 7/9 = 1
Una demostración consiste en calcular la distancia entre 1 y 0.999... :
Dado un número cualquiera E, siempre existe un n tal que 1-0,9999... 9 con n ceros que es menor que E:
E<1-0,9.....9 => E< 1- (9...9/10^n) => 10^n > (9...9)/(1-E) => n> log(9....9/(1-E))/log 10
Basta escoger un n que verifique la condición hallada. Si hacemos tender E a 0 la distancia entre 1 i 0.999... tenderá a cero.
Una demostración consiste en calcular la distancia entre 1 y 0.999... :
Dado un número cualquiera E, siempre existe un n tal que 1-0,9999... 9 con n ceros que es menor que E:
E<1-0,9.....9 => E< 1- (9...9/10^n) => 10^n > (9...9)/(1-E) => n> log(9....9/(1-E))/log 10
Basta escoger un n que verifique la condición hallada. Si hacemos tender E a 0 la distancia entre 1 i 0.999... tenderá a cero.
