Problema de logaritmos y población
Sabe que tengo un examen sobre logaritmos loa cual quería saber si usted me podría ayudar a resolver el siguiente ejercicio que es el único que tengo dudas
Población mundial:
Un modelo matemático del crecimiento de la población mundial, para periodos cortos de tiempo, esta dado por:
Donde
Po= Población cuando t=0
r=Tasa o índice de crecimiento (a cierto porcentaje anual)
t= Tiempo en años
P= Población en el tiempo
¿Cuándo tiempo tardara en duplicarse la población de la Tierra, si continua creciendo a la tasa del 2% anual (crecimiento continuo)?
Indicación: dado r=0.02 encuéntrese t tal, que P=2Po
Población mundial:
Un modelo matemático del crecimiento de la población mundial, para periodos cortos de tiempo, esta dado por:
$$P=P_0e^{rt}$$Donde
Po= Población cuando t=0
r=Tasa o índice de crecimiento (a cierto porcentaje anual)
t= Tiempo en años
P= Población en el tiempo
¿Cuándo tiempo tardara en duplicarse la población de la Tierra, si continua creciendo a la tasa del 2% anual (crecimiento continuo)?
Indicación: dado r=0.02 encuéntrese t tal, que P=2Po
2 respuestas
Respuesta de pandeburgos
1
Tal y como te dice la indicación, haciendo P=2*Po (es decir, la población igual al doble de la inicial) tienes:
2Po=Po*e^(rt)
Simplificando Po, tienes:
2=e^(rt)
Tomando logaritmos neperianos a ambos lados de la igualdad:
ln(2)=ln(e^(rt))=rt
Y despejando el tiempo:
t=Ln(2)/r, es decir que el tiempo que tardaría sería el logaritmo neperiano de 2 dividido entre la tasa (0,02):
0,6931/0,02= 34,67 años
2Po=Po*e^(rt)
Simplificando Po, tienes:
2=e^(rt)
Tomando logaritmos neperianos a ambos lados de la igualdad:
ln(2)=ln(e^(rt))=rt
Y despejando el tiempo:
t=Ln(2)/r, es decir que el tiempo que tardaría sería el logaritmo neperiano de 2 dividido entre la tasa (0,02):
0,6931/0,02= 34,67 años
Respuesta
1
Primero decirte que los espacios al principio de las líneas no se conservan al enviar los mensajes. Pero he podido adivinar que se trata de la siguiente fórmula.
P = Po·e^(Rt)
Denoto:
Potencias: A^B es A elevado a B
Producto: o nada, o · para aclarar a veces
Nos piden "despejar t de la anterior fórmula", es decir, "resolver la ecuación en t", que es otra forma de decirlo.
Es una "ecuación exponencial2, pero de las que se pueden resolver directamente con logaritmos.
==>
Regla de dedo gordo: "Para bajar una incógnita exponente hay que utilizar el logaritmo aplicado a toda la ecuación."
Así, utilizando ln (logaritmo neperiano o en base e), obtenemos:
P = Po·e^(Rt)
lnP = lnPo + Rt(lne)
(Donde escribo junto ln con su argumento (a lo que se aplica el ln) para que quede claro la anidación de las cosas.)
Pero lne = 1, luego:
lnP = lnPo + Rt
==> t = ln(P/Po) / R
(ln(P/Po) viene de lnP - lnPo)
Ahora sólo nos queda substituir los datos.
Nos dan R=2%=2/100
y nos dan P = 2Po, dado que según parece, el tiempo t=0 coincide con el momento presente.
Es importante comprobar que todos los datos están en las mismas unidades, y en este caso lo están, sólo utilizamos años para el tiempo. El número de personas no tiene unidades, es la cuenta y ya está.
==> t = ln(2Po/Po) / 0.02 =
= ln2 / 0.02 = (cogiendo la calculadora) = 0.7131 años
Es decir, en menos de un año: Sería conveniente expresarlo en meses: 0.7131 años · 12 meses /años = 8.55 meses
P = Po·e^(Rt)
Denoto:
Potencias: A^B es A elevado a B
Producto: o nada, o · para aclarar a veces
Nos piden "despejar t de la anterior fórmula", es decir, "resolver la ecuación en t", que es otra forma de decirlo.
Es una "ecuación exponencial2, pero de las que se pueden resolver directamente con logaritmos.
==>
Regla de dedo gordo: "Para bajar una incógnita exponente hay que utilizar el logaritmo aplicado a toda la ecuación."
Así, utilizando ln (logaritmo neperiano o en base e), obtenemos:
P = Po·e^(Rt)
lnP = lnPo + Rt(lne)
(Donde escribo junto ln con su argumento (a lo que se aplica el ln) para que quede claro la anidación de las cosas.)
Pero lne = 1, luego:
lnP = lnPo + Rt
==> t = ln(P/Po) / R
(ln(P/Po) viene de lnP - lnPo)
Ahora sólo nos queda substituir los datos.
Nos dan R=2%=2/100
y nos dan P = 2Po, dado que según parece, el tiempo t=0 coincide con el momento presente.
Es importante comprobar que todos los datos están en las mismas unidades, y en este caso lo están, sólo utilizamos años para el tiempo. El número de personas no tiene unidades, es la cuenta y ya está.
==> t = ln(2Po/Po) / 0.02 =
= ln2 / 0.02 = (cogiendo la calculadora) = 0.7131 años
Es decir, en menos de un año: Sería conveniente expresarlo en meses: 0.7131 años · 12 meses /años = 8.55 meses
Mil disculpas por no haber valorado su respuesta por mi parte le daría mil estrellas pero no se puede gracias por su gentileza de haber respondido esta pregunta muchas gracias.
Necesito una gormula y resolver un problema usando la expresiony=2 elevado a la t por ayudenme - Stefy Falla