Dominio, simetría, crecimiento, puntos de corte, asíntotas, etc.., de funciones
Como estás... He visto que sabes mucho a juzgar por las respuestas que he visto que has dado a mucha gente y a la valoración que te han hecho... Quería pedirte que me ayudes con esta función, ay que estudiar dominio, simetrías, crecimiento y decrecimiento, puntos de corte con los eje, asíntotas...
f(x) = L[(x+1)/(x+2)]
f(x) = L[(x+1)/(x+2)]
1 Respuesta
Respuesta de leojp24
1
como estas... solo una peque. A duda sobre esta función... esa "L" representa a... bueno si me la dices con gusto tratare de ayudarte...
Hola, muchas gracias! Esa L es un logaritmo neperiano.
Oie, ¿si acaso tienes tiempo me podrías aclarar esta otra?:
f(x) = (e^x)/(x^2)
Gracias!
Oie, ¿si acaso tienes tiempo me podrías aclarar esta otra?:
f(x) = (e^x)/(x^2)
Gracias!
Sorry por la demora... espero aun te sea útil mi ayuda.. bueno veamos... para estas funciones te piden:
a)Dominio
b)simetrias
c)crecimiento y decrecimiento
d)puntos de corte con los ejes
e)asintotas
Bueno veamos para la primera función,(no se de cual es tu país de procedencia y si la notación sea diferente al mio... pero como yo lo aprendí el logaritmo neperiano se denota "Ln", te lo digo para no confundirte en la explicación, debido a que, es la notación que urilizare)...
1) f(x) = Ln[(x+1)/(x+2)]
a) Dominio
Se refiere a los valores que puede tomar "x", por regla básica de los logaritmos sabemos que :
log(b)A=x ;logaritmo de "A" en base "b", donde "b" es mayor que "0" y diferente de "1", por lo tanto "A" también es mayor que "0" y diferente de "1", de donde obtienes que (x+1)/(x+2)>0, resolviendo esta inecuación de primer grado, tenemos los puntos críticos -2 y -1, y veras que el dominio de "x" es R-<-2,-1>, esto quiere decir que..."x" pertenece a los reales excepto el intervalo abierto en "-2" hasta "-1" abierto(si el intervalo es abierto lo denoto así "<>", en caso es cerrado utilizo corchetes [])
b) Simetrías.
Por definición de simetría tenemos que:
(x, y) que pertenece a los R^2 es :
Simétrica al eje "x" si:
(x,y)=(x,-y)
simetrica al eje "y" si:
(x,y)=(-x,y)
simetrica al origen si:
(x,y)=(-x,-y)
bueno ahora despejamos:
y=Ln((x+1)/(x+2))
e^y =(x+1)/(x+2)
(x+2)*e^y - x - 1 = 0
x*e^y + 2*e^y - x - 1 = 0
si aplicas las propiedades de la simetria tendras que:
x*e^y + 2*e^y - x - 1 , es diferente de, x*e^(-y) + 2*e^(-y) - x - 1, por lo tanto no es simetrica con el eje "x"
x*e^y + 2*e^y - x - 1 , es diferente de, (-x)*e^y + 2*e^y - (-x) - 1
Te das cuenta que solo estamos haciendo lo que dice la propiedad... en la primera.. reemplazamos a "y" por "-y", y en la segunda a "x" por "-x", y a al no ser iguales no hay simetría, y por ultimo:
x*e^y + 2*e^y - x - 1 , es diferente de, (-x)*e^(-y) + 2*e^(-y) - (-x )- 1
Por lo tanto tampoco hay simetría con el origen.
c)Crecimiento y decrecimiento
Para determinar el crecimiento o decrecimiento de una función debemos tener en cuenta la siguiente definición...
Si; a<b, y f(a)<f(b), entonces la funcion es creciente..
Si; a<b , y f(a)>f(b), entonces la función es decreciente..
Como ya hallamos el dominio de la función al principio... evaluaremos allí el crecimiento o decrecimiento de la función...
Para el intervalo de <- infinito,-2> nos damos cuenta de que f(a)<f(b), para a<b, por ejemplo, probamos con a =-4 y b =-3, al reemplazar en la funcion tenemos:
f(-4) < f(-3)
Ln(1.5) < Ln(2), por lo tanto aqui la funcion es creciente
Para el segundo intervalo
<-1,+infinito> , realizamos la misma operacion y obtenemos que la funcion es creciente
d)Puntos de corte con los ejes.
Para determinar el punto de corte con el eje "x" hacemos "y=0", entonces:
y=Ln((x+1)/(x+2))
0=Ln((x+1)/(x+2))
e^0=(x+1)/(x+2)
1 =(x+1)/(x+2)
Al desarrollar esta ecuación vemos que x no tiene soluciones en R (reales), lo que quiere decir que la gráfica de la función no tiene puntos de corte con el eje de abscisas o eje "x"
para determinar el punto de corte con el eje "y" o eje de ordenadas, evaluamos con "x=0"
y=Ln((x+1)/(x+2))
y=Ln((0+1)/(0+2))
y=Ln 0.5
entonces la función corta al eje "y" en un solo punto.."Ln 0.5"
e)asintotas
Para determinar las asíntotas verticales tenemos la ecuación que utilizamos al principio para determinar el dominio de la función,
(x+1)/(x+2)>0, de donde vemos que x es diferente de "-2" y "-1", de donde obtienes que las asintotas son las rectas x=-1 y x=-2.
para obtener las asintotas horizontales...tenes que despejar "x" de la funcion:
y = Ln[(x+1)/(x+2)]
e^y =(x+1)/(x+2)
e^y = 1 - 1/(x+2)
1/(x+2) = 1 - e^y
x+2 = 1/(1 - e^y)
x=(2*e^y -1)/(1-e^y)
Después de haber despejado "x", puedes ver que en el denominador (1-e^y)
Es diferente de "0", porque la división por "0" no esta definida, de donde se determina que "y debe ser diferente de "0" ", por lo tanto la asíntota horizontal es la recta "y=0"
Bueno cualquier duda que tengas no dudes en mandarme un e_mail nos vemos y buena suerte...
a)Dominio
b)simetrias
c)crecimiento y decrecimiento
d)puntos de corte con los ejes
e)asintotas
Bueno veamos para la primera función,(no se de cual es tu país de procedencia y si la notación sea diferente al mio... pero como yo lo aprendí el logaritmo neperiano se denota "Ln", te lo digo para no confundirte en la explicación, debido a que, es la notación que urilizare)...
1) f(x) = Ln[(x+1)/(x+2)]
a) Dominio
Se refiere a los valores que puede tomar "x", por regla básica de los logaritmos sabemos que :
log(b)A=x ;logaritmo de "A" en base "b", donde "b" es mayor que "0" y diferente de "1", por lo tanto "A" también es mayor que "0" y diferente de "1", de donde obtienes que (x+1)/(x+2)>0, resolviendo esta inecuación de primer grado, tenemos los puntos críticos -2 y -1, y veras que el dominio de "x" es R-<-2,-1>, esto quiere decir que..."x" pertenece a los reales excepto el intervalo abierto en "-2" hasta "-1" abierto(si el intervalo es abierto lo denoto así "<>", en caso es cerrado utilizo corchetes [])
b) Simetrías.
Por definición de simetría tenemos que:
(x, y) que pertenece a los R^2 es :
Simétrica al eje "x" si:
(x,y)=(x,-y)
simetrica al eje "y" si:
(x,y)=(-x,y)
simetrica al origen si:
(x,y)=(-x,-y)
bueno ahora despejamos:
y=Ln((x+1)/(x+2))
e^y =(x+1)/(x+2)
(x+2)*e^y - x - 1 = 0
x*e^y + 2*e^y - x - 1 = 0
si aplicas las propiedades de la simetria tendras que:
x*e^y + 2*e^y - x - 1 , es diferente de, x*e^(-y) + 2*e^(-y) - x - 1, por lo tanto no es simetrica con el eje "x"
x*e^y + 2*e^y - x - 1 , es diferente de, (-x)*e^y + 2*e^y - (-x) - 1
Te das cuenta que solo estamos haciendo lo que dice la propiedad... en la primera.. reemplazamos a "y" por "-y", y en la segunda a "x" por "-x", y a al no ser iguales no hay simetría, y por ultimo:
x*e^y + 2*e^y - x - 1 , es diferente de, (-x)*e^(-y) + 2*e^(-y) - (-x )- 1
Por lo tanto tampoco hay simetría con el origen.
c)Crecimiento y decrecimiento
Para determinar el crecimiento o decrecimiento de una función debemos tener en cuenta la siguiente definición...
Si; a<b, y f(a)<f(b), entonces la funcion es creciente..
Si; a<b , y f(a)>f(b), entonces la función es decreciente..
Como ya hallamos el dominio de la función al principio... evaluaremos allí el crecimiento o decrecimiento de la función...
Para el intervalo de <- infinito,-2> nos damos cuenta de que f(a)<f(b), para a<b, por ejemplo, probamos con a =-4 y b =-3, al reemplazar en la funcion tenemos:
f(-4) < f(-3)
Ln(1.5) < Ln(2), por lo tanto aqui la funcion es creciente
Para el segundo intervalo
<-1,+infinito> , realizamos la misma operacion y obtenemos que la funcion es creciente
d)Puntos de corte con los ejes.
Para determinar el punto de corte con el eje "x" hacemos "y=0", entonces:
y=Ln((x+1)/(x+2))
0=Ln((x+1)/(x+2))
e^0=(x+1)/(x+2)
1 =(x+1)/(x+2)
Al desarrollar esta ecuación vemos que x no tiene soluciones en R (reales), lo que quiere decir que la gráfica de la función no tiene puntos de corte con el eje de abscisas o eje "x"
para determinar el punto de corte con el eje "y" o eje de ordenadas, evaluamos con "x=0"
y=Ln((x+1)/(x+2))
y=Ln((0+1)/(0+2))
y=Ln 0.5
entonces la función corta al eje "y" en un solo punto.."Ln 0.5"
e)asintotas
Para determinar las asíntotas verticales tenemos la ecuación que utilizamos al principio para determinar el dominio de la función,
(x+1)/(x+2)>0, de donde vemos que x es diferente de "-2" y "-1", de donde obtienes que las asintotas son las rectas x=-1 y x=-2.
para obtener las asintotas horizontales...tenes que despejar "x" de la funcion:
y = Ln[(x+1)/(x+2)]
e^y =(x+1)/(x+2)
e^y = 1 - 1/(x+2)
1/(x+2) = 1 - e^y
x+2 = 1/(1 - e^y)
x=(2*e^y -1)/(1-e^y)
Después de haber despejado "x", puedes ver que en el denominador (1-e^y)
Es diferente de "0", porque la división por "0" no esta definida, de donde se determina que "y debe ser diferente de "0" ", por lo tanto la asíntota horizontal es la recta "y=0"
Bueno cualquier duda que tengas no dudes en mandarme un e_mail nos vemos y buena suerte...
Muchísimas gracias! Además de ser un excelente maestro se ve que se ha molestado y tomado su tiempo para dejarme cada cosa bien clara. Muy atento! Gracias!
(Soy español)
(Soy español)
