¿Funciones Aritméticas: Número de divisores positivos?

¿El enlace ese es tuyo y has puesto allí una parte del libro? Es que tendría gran interés en el libro completo, de forma gratuita por supuesto, si pudieras decirme cómo o dónde conseguirlo te lo agradecería.

Vayamos ya con el problema. Dice que si dos números positivos m y n tienen el máximo común divisor > 1 entonces Pi(m·n) < Pi(m)·Pi(n). Donde Pi es la función número de divisores.

En el libro nos dice que el número de divisores se calcula como multiplicación de los exponentes de los factores primos incrementados en una unidad.

Si n = p1^n1·p2^n2····pk^nk

donde pj quiere decir primo sub j y nj exponente sub j

Pi(n) = (n1+1)(n2+1)···(nk+1)

Sea m = q1^m1·q2^m2···qi^mi

Entonces si mcd(n, m)>1 quiere decir que tienen un divisor común. Existirán uno o más primos comunes en las dos descomposiciones.

Eso no le importa nada al producto de las Pi

Pi(n)·Pi(m)=(n1+1)(n2+1)···(nk+1) · (m1+1)(m2+1)···(mi+1)

Pero si a la Pi del producto.

Supongamos sin perder generalidad que p1 y q1 son primos comunes, p1=q1

El factor que aporta este primo a la función Pi(n·m) es

(n1+m1+1)

Mientras que en Pi(n)·Pi(m) había una aportación doble

(n1+1)(m1+1) = n1+m1+1+n1·m1

Vemos que esta segunda aportación es estrictamente mayor.

Entonces para todos los primos repetidos iremos creando un número menor en Pi(nm) que Pi(n)·Pi(m) mientras que los no repetidos aportarán los mismos factores en un sitio que en el otro. El producto de factores menores o iguales hará que Pi(nm) sea menor y estrictamente menor porque al menos habrá un factor menor.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Sobre todo que te quede clara la idea, porque aquí no se puede escribir tan bien las expresiones matemáticas como se haría a mano.