Ecuaciones...

Ecuación simétrica de la recta
Si la recta no pasa por el origen O ( 0, 0 ) y P ( a, 0 ) y QUE ( 0, b ) son los puntos
de intersección de la recta con los ejes POR e Y respectivamente, entonces su
ecuación simétrica es de la forma:
Por y
--- + --- =1
A b
Donde ab es distinto de cero.
Ecuación principal de la recta
La ecuación principal de la recta es de la forma:
y = m x + n
Donde:
M es la pendiente de la recta y
P ( 0, n ) es el punto de intersección de la recta con el eje Y
Determinación de la pendiente de una recta
Si la recta pasa por los puntos P ( x 1 , y 1 ) y Q ( x 2 , y 2 ) , entonces su pendiente
es:
y 2 - y 1
m = ------------
x 2 - x 1
Con x2 y x1 diferentes.
Luego sustituyes el valor de la pendiente y sustituyendo los valores por e y de cualquiera de los dos puntos obtienes el valor de n.
Ahora te pondré un ejemplo:
Sean los puntos A(1;2)y B(2;4). Vamos a determinar la ecuación de la recta.
Primero hallamos la pendiente que sería
4 - 2
m = ---------
2 - 1
m = 2
luego la ecuación sería
y=2x+n y sustituyendo x=1 y y=2 tendríamos que
2=2+n de donde n=0 y la ecuación será
y=2x
Hasta pronto y le deseo suerte y salud.

La ecuación simétricas de la recta es aquella que no pasa por el origen (0,0).
La recta entonces cortará a los ejes "x" y "y" en otros puntos. Si llamamos a (a, 0) al punto de intersección de la recta con el eje "x" y (0, b) al punto de intersección con el eje "y", entonces, la ecuación de la simétrica de la recta será:
x/a + y/b = 1 ; donde a y b son diferentes de cero.
La ecuación de la recta de dos puntos, es aquella como su nombre lo dice, pasa por dos puntos conocidos, P(x1, y1) y Q(x2, y2), entonces la ecuación para determinar esta recta, está dada por:
(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1) ; donde x1 es distinto a x2.

No sé qué es "la ecuación de simétrica de la recta".
La ecuación de la recta de dos puntos se llama así porque a partir de dos puntos P y QUE, (bien a partir de los puntos mismos o de sus coordenadas) se obtiene una ecuación que representa la recta que pasa por P y Q.
Por ejemplo, si tenemos P y Q, entonces podemos tener el vector PORQUE, y poner la ecuación afín de la recta:
X = P + tPQ
T es un número real que multiplica al vector PORQUE, dándole valores obtienes todos los puntos POR de la recta.
Pero supongamos ahora que tenemos P=(Px, Py) y Q=(Qx, Qy) las coordenadas de los puntos (en un plano), entonces la ecuación paramétrica de la recta es:
Xx = Px + t(Qx-Px)
Xy = Py + t(Qy-Py)
(Xx, Qy, ... etc, son "X sub x", "Q sub y", no son productos)
despejando la t de ambas ecuaciones:
t = (Xx-Px)/(Qx-Px)
t = (Xy-Py)/(Qy-Py)
Igualando:
(Xx-Px)/(Qx-Px) = (Xy-Py)/(Qy-Py)
Queremos despejar Xy para obtener la ecuación explícita de dos puntos de la recta. Haciendo operaciones:
Xy = [(Qy-Py)/(Qx-Px)]·(Xx-Px) + Py
De esta forma, dando valores arbitrarios a la Xx, obtenemos la otra coordenada del punto de la recta.

Ecuación de la recta de dos puntos.
No se que me quisiste preguntar acá pero yo te doy la ecuación y explicación de la recta en gral no se si tu pregunta era como hallar la ecucion a partir de dos puntos pero bue si era así avíseme que te explico.
Ecuación principal de la recta
La ecuación principal de la recta es de la forma:
y = m x + n
Donde:
M es la pendiente de la recta y
P ( 0, n ) es el punto de intersección de la recta con el eje Y
Ecuación simétrica de la recta
Si la recta no pasa por el origen O ( 0, 0 ) y P ( a, 0 ) y QUE ( 0, b ) son los puntos
de intersección de la recta con los ejes POR e Y respectivamente, entonces su
ecuación simétrica es de la forma:
X y
-- + -- = 1 ( a b ¹ 0 )
A b
Si te quedaron dudas, pregunta nomas.
MArtin