Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(1,0,2) que es paralela al plano 1x+y+z=5 y perpendicul

Buscando información en internet me he encontrado con este problema y creo que si hay una solución para la cuestión planteada.

Vamos a llamar r a la recta que buscamos y s a la recta que nos dan

El vector normal del plano es (1,1,1) y el vector director de la recta perpendicular a la que buscamos es (1,1,1). Esto significa que el vector normal y el vector director son paralelos, o lo que es lo mismo, la recta de la que nos dan la ecuación intersecta con el plano en un punto. Este hecho no es relevante para la resolución del problema, pero nos ayuda a entender cual es la posición de la recta s con el plano y la recta r que buscamos. La recta r que buscamos y que pasa por el punto A(1,0,2) estará contenida en un plano paralelo al dado. La ecuación del plano que contiene a la recta r  que buscamos será de la forma x+y+x+D=0, como el punto A(1,0,2) está contenido en este plano, debe verificar dicha ecuación, por tanto, 1+0+2+D=0, luego D=-3, y la ecuación del plano que contiene a la recta r pedida es x+y+z-3=0. La recta s dada en el enunciado debe intersectar con el plano x+y+z-3=0. Para hallar el punto de intersección sustituimos las coordenadas de un punto genérico de s en la ecuación del plano

t+1+t+1+t-3=0, luego t=1/3. 

Sustituyendo el valor de t en las ecuaciones paramétricas de s obtenemos el punto de intesección buscado, que es el punto B(1/3,4/3,4/3). La recta r pedida debe pasar por los puntos A y B, de este modo será paralela al plano dado en el enunciado y perpendicular a s. El vector AB será el vector director de r, que es (1,0,2)-(1/3,4/3,4/3)=(2/3,-4/3,2/3). Utilizaremos como vector director de r un vector proporcional al calculado, que será (2,-4,2).

Las ecuaciones paramétricas de la recta r son

x=1+2t

y=-4t

z=2+2t

las ecuaciones simétricas o continuas son:

(x-1)/2=y/-4=(z-2)/2

Pedro Quetglas

Vamos a calcular el vector director de la recta.

El vector director del plano es perpendicular a las rectas del plano. Si la recta es paralela al plano es paralela a alguna de las rectas del plano y por lo tanto el vector director de la recta es perpendicular al del plano.

El vector director del plano Ax+By+Cz+D= 0 es (A, B, C)

Luego el vector director de la recta es perpendicular a (1,1,1)

Y también es perpendicular al vector de la otra recta que se obtiene de los coeficientes de t de la ecuación paramétrica,

x=t; y=1+t; z=1+t

luego es perpendicular a (1,1,1)

REVISA EL ENUNCIADO, los datos que nos dan son redundantes, creo que a lo mejor no están bien. Si estuvieran bien, no habría una recta sino infinitas cumpliendo el enunciado.

Espero que me confirmes si el enunciado está bien para continuar.

Según la guía de ejercicios eso es lo indicado inclusive tiene respuesta x=-4t+1; y=2t; z=2t+2 Una manera que me acerqué fué utilizando las ecuaciones paramétricas y aplicando producto vectorial así este es una respuesta vieja a un ejercicio parecido por internet en algo: x=t; y=1+t; z=1+t si sabemos que x=xo+t; y=yo+t y z=zo+t; entonces;

(xo,yo,zo)= (0,1,1) y el vector director (1,1,1) diciendo que E=entonces que E=PPo es decir, Po-P=(0,1,1)- (1,0,2) =(-1,1,-1). Aplicando producto vectorial (1,1,1)X(-1,1,-1) y me resultó (-2,0,2) es parecido pero todavia esto es sin relacionar que es paralelo al plano x+y+z=5 ayudame a ver si encontramos una solución o en verdad está mal planteado

El enunciado no es correcto.

Es cierto que la recta

x=-4t+1; y = 2t; z=2t+2

cumple las condiciones, ya que es

(1, 0, 2) + t(-4, 2, 2)

luego pasa por el punto (1, 0, 2)

y es perpendicular a la recta x=t; y=1+t; z = 1+t por que el vector es (1,1,1) y el producto escalar es

(-4,2,2)·(1,1,1) = -4+2+2=0

Y es paralela al plano porque es perpendicular al vector director del plano que es (1,1,1).

Pero como puedes ver, la condición del plano no aporta nada nuevo, dice lo mismo que la de la recta.

Entonces aparte de esa recta hay infinitas que también cumplen:

tomemos cualquier vector (1,u,v) perpendicular a (1,1,1)

(1,u,v)(1,1,1) = 1+u+v = 0

luego el vector será

(1, u, -1-u)

entonces cualquier recta de la forma

r: (1, 0, 2) + t(1, u, -1-u) para todo u € R

cumple las condiciones del enunciado.

Por ejemplo, la recta

r: (1,0,2) + t(1, 2 -3) = (1+t, 2t, 2-3t)

pasa por (1, 0, 2) y es perpendicular al vector (1,1,1)

(1,1,1)(1,2,-3) = 1+2-3=0

Luego el enunciado no nos da todas las condiciones para definir la recta porque las dos de las que da son redundantes.

Si el vector del plano o el de la recta fueran diferentes entonces bastaría hacer el producto vectorial de ellos y obtendríamos el de una recta única.

Respecto al método que has usado, el vector (-2, 0, 2) que obtienes sería el de una recta perpendicular a las dos rectas en el supuesto de que estas se cortasen. Pero el enunciado no dice que se corten.

Supongamos que se cortaran para ver que nos daría

(t, 1+t, 1+t) = (1+s, su, 2+s(-1-u))

t=1+s

1+t = su

1+t = 2+s(-1-u)

luego sustituyendo t en la segunda

1+1+s = su

2+s = su

s-su = -2

s =-2/(1-u)

y sustituyendo t y s en la tercera

1+1-2/(1-u) = 2 -[2/(1-u)](-1-u)

[2(1-u)-2] / (1-u) = [2(1-u)-2(-1-u)] / (1-u)

2-2u-2 = 2-2u+2+2u

-2u = 4

u=-2

Y la recta en el supuesto de que se cortaran sería

(1+s, -2s, 2+s)

Que no coincide con la respuesta que dan porque los vectores (1,-2-1) y (-4,2,2) no son paralelos.

Resumiendo:

1) La respuesta es la que aparece en las tres líneas en negrita que puse arriba y que vuelvo a transcribir

Entonces cualquier recta de la forma
r: (1, 0, 2) + t(1, u, -1-u) para todo u € R
Cumple las condiciones del enunciado.

2) La repuesta que te dan no es mas que un caso particular para u=-1/2, ya que el vector será (1, -1/2, -1/2) paralelo a (-4, 2, 2)

3) Lo más probable es que hayan tenido un error o errata en el enunciado.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si ya no necesitas más aclaraciones no olvides puntuar la respuesta.