Inducción
Hola mi nombre es Gustavo y quiero preguntarte sobre principio de inducción, si tienes algunos ejercicios y sus soluciones, con alguna explicación tuya sobre de como resolver en forma más sencilla este tipo de ejercicios, desde ya muchas gracias.
Respuesta de mikel1970
1
Déjame contarte una pequeña leyenda de uno de los mayores genios que ha dado la historia de las matemáticas.
Cuenta la leyenda que siendo un infante de 10 años Friederick Gauss asistía a su clase de primaria cuando su profesora (seguramente para no sopoirtar los ruidos de sus pequeños alumnos) les propuso que sumaran todos los números del 1 al 100.
Mientras todo los alumnos se pusieron a hacer las cuentas, Gauss se dio cuenta que
1+100=2+99=3+98=4+97=..=101
y que sólo hacía falta multiplicar
101*55=550
(La fórmula por inducción que hemos hallado, que es la suma de los n términos de una progresión aritmética lo corrobora)
Y en 15 sg dio la solución
Probablemente la leyenda no sea verdad pero si lleva siglos escuchándose no me extraña que Gauss sea considerado el príncipe de las matemática.
Me descubro ante tales genios.
Cuenta la leyenda que siendo un infante de 10 años Friederick Gauss asistía a su clase de primaria cuando su profesora (seguramente para no sopoirtar los ruidos de sus pequeños alumnos) les propuso que sumaran todos los números del 1 al 100.
Mientras todo los alumnos se pusieron a hacer las cuentas, Gauss se dio cuenta que
1+100=2+99=3+98=4+97=..=101
y que sólo hacía falta multiplicar
101*55=550
(La fórmula por inducción que hemos hallado, que es la suma de los n términos de una progresión aritmética lo corrobora)
Y en 15 sg dio la solución
Probablemente la leyenda no sea verdad pero si lleva siglos escuchándose no me extraña que Gauss sea considerado el príncipe de las matemática.
Me descubro ante tales genios.
El principio de inducción es bastante lógico y se basa en demostrar dos cosas
1º Una proposición es cierta para un número, por ejemplo para n=1
2º Supuesta cierta para n se demuestra que es vierta para n+1
Es decir, si quiero demostrar que es cierta para todos los nímeros naturales, si demuestro 1º que es cierta para n=1 y demuestro que es cierta para el siguiente, entonces será cierta por 2º para n=2, y por 2º para n=3, y por 2º para n=4...
Ej:1+2+3+...+n=(n+1)*n/2
(Luego te cuento ésta)
1º Para n=1
1+...=1
(n+1)*n/2=(1+1)/2=2/2=1
Es cierta
2º Supongo
1+2+3+...+n=(n+1)*n/2
He de demostrar
1+2+3+...+n+n+1=(n+1+1)*(n+1)/2=(n+2)*(n+1)/2
1+2+3+...+n+n+1=
(1+2+3+...+n)+(n+1)=
Como sabemos que
1+2+3+...+n=(n+1)*n/2
(n+1)*n/2 +n+1=
(n^2+n+2n+2)/2=
(n^2+3n+2)/n
y factorizando
n^2+3n+2=(n+1)(n+2)
luego
1+2+3+..+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/n
Que es lo que queríamos demostrar
El único truco es forzar tu desarrollo matemático para tratar de meter lo que sabes, aunque no siempre es fácil. Para igualdades es más sencillo, pues no puedes engañar a las matemáticas. El problema viene para las desigualdades, pues
n+5<n+7, pero también
n+5<n+10
El caso es tratar de llevar el desarrollo a lo que te conviene, a veces con mucha "idea feliz"
He encontrado páginas con problemas, pero desgraciadamente sin soluciones. Siempre es mejor un buen libro que apuntes de la red
Espero que te sirva, y si tienes algún problema concreto con alguna demostración no dudes en consultar ( sin garantizarte una respuesta, en el fondo hay muchas ideas felices)
1º Una proposición es cierta para un número, por ejemplo para n=1
2º Supuesta cierta para n se demuestra que es vierta para n+1
Es decir, si quiero demostrar que es cierta para todos los nímeros naturales, si demuestro 1º que es cierta para n=1 y demuestro que es cierta para el siguiente, entonces será cierta por 2º para n=2, y por 2º para n=3, y por 2º para n=4...
Ej:1+2+3+...+n=(n+1)*n/2
(Luego te cuento ésta)
1º Para n=1
1+...=1
(n+1)*n/2=(1+1)/2=2/2=1
Es cierta
2º Supongo
1+2+3+...+n=(n+1)*n/2
He de demostrar
1+2+3+...+n+n+1=(n+1+1)*(n+1)/2=(n+2)*(n+1)/2
1+2+3+...+n+n+1=
(1+2+3+...+n)+(n+1)=
Como sabemos que
1+2+3+...+n=(n+1)*n/2
(n+1)*n/2 +n+1=
(n^2+n+2n+2)/2=
(n^2+3n+2)/n
y factorizando
n^2+3n+2=(n+1)(n+2)
luego
1+2+3+..+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/n
Que es lo que queríamos demostrar
El único truco es forzar tu desarrollo matemático para tratar de meter lo que sabes, aunque no siempre es fácil. Para igualdades es más sencillo, pues no puedes engañar a las matemáticas. El problema viene para las desigualdades, pues
n+5<n+7, pero también
n+5<n+10
El caso es tratar de llevar el desarrollo a lo que te conviene, a veces con mucha "idea feliz"
He encontrado páginas con problemas, pero desgraciadamente sin soluciones. Siempre es mejor un buen libro que apuntes de la red
Espero que te sirva, y si tienes algún problema concreto con alguna demostración no dudes en consultar ( sin garantizarte una respuesta, en el fondo hay muchas ideas felices)
