Demuestre por inducción matemáticas que dados a, b

La demostración por inducción tiene dos partes. Primero se demuestra que se cumple para n=1 y luego se demuestra que si sirve para n entonces también sirve para n+1.

Para n=1 se cumple a^1 < b^1 ya que la una hipótesis de partida es a< b

Ahora supongamos que se cumple para n

a^n < b^n

Si multiplicamos por a en ambos lados, ya que a es positivo se mantiene el signo de la desigualdad

a·An < a·b^n

a^(n+1) < a·b^n

Ahora consideramos el número b/a, como b mayor que a y ambos positivos se cumple b/a>1. Y cuando multiplicamos algo por un número mayor que 1 obtenemos algo mayor

a^(n+1) < a·b^n < (b/a)a·b^n = b·b^n = b^(n+1)

tomando lo primero y último tenemos

a^(n+1) < b^(n+1)

Luego se cumple para n+1

Y con eso queda demostrada la inducción.