Ahora no tengo tiempo para completar la pregunta, pero veo que el conjunto del apartado a es un subgrupo por lo mismo que un ejercicio que hicimos:
a)
i) No es vacío porque la identidad de las permutaciones de SA (e) pertenece a el ya que
be = b
ii) Sean r y t permutaciones del conjunto
br = b
bt = b ==> (bt)t' = bt' ==> b(tt') = bt' ==> be = bt' ==> b = bt'
b(rt') = (br)t' = bt' = b
Luego rt' también pertenece al conjunto
Y con esto basta, se cumple el teorema de caracterización de un subgrupo.
b)
i) No es vacío porque la identidad cumple be = b € B
ii) Sean r y t permutaciones que cumplen br € B y bt € B
Es que no se puede razonar nada con esas condiciones, vayamos al contraejemplo de la mano de S3 como tantas veces
A = {1, 2, 3}
B = {1, 2}
b = 1
Las permutaciones que llevan al elemento b dentro del conjunto B son
{e, (1,2), (2,3), (1,2,3)}
Las otras dos es obvio que no (1,3) manda el 1 al 3 que está fuera de B y la (1,3,2) lo mismo.
Bien, pues el conjunto
{e, (1,2), (2,3), (1,2,3)} no es un subgrupo de S3
(1,2)(2,3) = (1,3,2) que no pertenece a ese conjunto
(1,2,3)(1,2,3) = (1,3,2) que no pertenece
(1,2)(1,2,3) = (1,3) que no pertenece
Vamos que no es un subgrupo para nada.
Luego el conjunto descrito en el apartado b) no es un subgrupo de SA
c) Este si tiene pinta de que va a serlo, se salva un escollo que tenía al intentar razonar el apartado b)
i) No es vacío, la identidad lleva el conjunto B a si mismo.
Ii) Sean r y t permutaciones que cumplen
Br C= B
Bt C= B ==> (Bt)t' C= Bt' ==> B(tt') C= Bt' ==> Be C= Bt' ==> B C= Bt'
He usado C= como incluido o igual, no se me ha ocurrido otra cosa.
Si B es finito podemos poner Br= B y B=Bt' con lo que
B(rt') = (Br)t' = Bt' = B
por lo que
B(rt') C= B
Y rt' pertenece al subconjunto y este subconjunto es un subgrupo
Pero si B es infinito puede que haya alguna sutileza que ahora no puedo demostrar o refutar.
YA CONTINUARE el ejercicio, ten paciencia.
Si B es un conjunto infinito no tiene porque cumplirse. Sea A el conjunto de los número naturales {1, 2, 3, ...}, sea B el conjunto de los pares {2, 4, 6,...} y sea t esta curiosa permutación:
SI n es par lo lleva a 2n
2-->4
4-->8
6-->12
...
Si n es de la forma 1+4m con m € N+{0} lo lleva a n+1
1-->2
5-->6
9-->10
...
SI n es impar de la forma 1+2m con m€N lo lleva a m
3-->1
7-->3
11-->5
Puede comprobarse que es una permutación en toda regla en N porque es una aplicación biyectiva
Y esta permutación cumple que lleva el conjunto B (los pares) dentro de B.
Pero la permutación inversa no lleva los pares dentro de los pares ya que el 2 lo lleva al 1, el 6 al 5, etc.
Luego el subconjunto definído en el apartado c) tiene ese elemento t pero no tiene su inverso, luego no es un subgrupo.
d)
Aquí se salva el escollo que había en el apartado c Y si que a a ser un subgrupo
i) La identidad pertenece y por tanto no es un subconjunto vacío
Ii) Sean r y t permutaciones tales que
Br = B
Bt = B ==>(Bt)t' = Bt' ==> B(tt') = Bt' ==> Be = Bt' ==> B = Bt'
B(rt') = (Br)t' = Bt' = B
Luego rt' pertenece al subconjunto y es un subgrupo.
Y eso es todo.
