Demuestre que la sucesión Xn= e^(sen(5n)) tiene una subsucesión convergente..

Me vendría muy bien que me dijeras el libro por si pudiera encontrarlo en internet. Esto ya es matemática algo superior y muchas preguntas se responden de forma distinta según que teoremas previos se hayan estudiado en es mismo capitulo o anteriores,. Incluso muchos ejercicios se apoyan en ejercicios anteriores, es difícil dar algunas respuestas sin saber el plan de estudios.

Aquí se puede dar una respuesta que sirve de golpe para las sucesiones acotadas y es que toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.

Apoyados en eso vamos a demostrarlo.

Sen(5n) esta acotada por -1 y 1

e^X es monótona creciente, luego e^(sen 5n) tiene una cota interior en e^1 y una superior en e.

Luego Xn es acotada y por tanto tiene una subsucesión convergente.

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Lo que que toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente no sé si lo tendrás en el libro, te haré una demostración somera.

Sea Yn una sucesión acotada inferiormente por a y superiormente por b

Dividimos el intervalo [a, b] en dos partes [a, (a+b)/2) y [(a+b)/2, b]

Al menos uno de los dos tendrá infinitos valores de la sucesión porque si no la sucesión no tendría infinitos términos. Tomamos ese intervalo y un elemento X1 de él y lo volvemos a dividir en dos partes, igualmente habrá una parte que tenga infinitos términos y tomaremos un elemento X2 de él y ese intervalo que volveremos a dividir y repetir el proceso. La sucesión de intervalos encajados determinará un único número real que será el limite de la sucesión que vamos creando.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. No olvides decirme lo del libro si lleváis alguno.

Y eso es todo.