Probar desigualdad sumatoria de raíces.
Pruébese que:
$$\Big(\sum_{i=1}^{n} (x_i+y_i)^2\Big)^{1/2}\leq\Big(\sum_{i=1}^{n} x_i^2\Big)^{1/2} + \Big(\sum_{i=1}^{n} y_i^2\Big)^{1/2}$$Gracias.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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El libro es:
Análisis Clásico Elemental de Jerrold E. Marsden y Michael J. Hoffman
Dada la dificultad de las expresiones y que el ordenador se atasca cuando se sobrecarga el editor de ecuaciones voy a dar varios pasos a la vez en alguna ocasión.
Primero elevamos al cuadrado ambos miembros, la desigualdad se conserva.
$$\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^2 \le \sum_{i=1}^nx_i^2+\sum_{i=1}^ny_i^2+2 \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2 }\sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2}$$Desarrollamos la parte izquierda operando los binomios y queda
$$\begin{align}&\sum_{i=1}^nx_i^2+\sum_{i=1}^ny_i^2 +2\sum_{i=1}^nx_iy_i\le \\ &\\ &\sum_{i=1}^nx_i^2+\sum_{i=1}^ny_i^2+2 \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2 }\sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2}\end{align}$$Simplificando adecuadamente queda
$$\sum_{i=1}^nx_iy_i\le \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2}$$Y eso es la desigualdad de Cauchy-Schwarz para el producto escalar en Rn
|<x,y>| <= ||x||·||y||
Luego la desigualdad es cierta.
Y eso es todo.
