Matrices.

Lo malo de esta página es que es harto difícil alinear las columnas ya que el sistema elimina los espacios blancos que exceden de dos, por eso trabajar con matrices o denominadores es complicado, pero haremos lo que se pueda.
Supongo sabrás que se forma a la derecha la matriz identidad y se efectúan las mismas operaciones que en la izquierda hasta que en la izquierda tengamos la identidad y entonces a la derecha está la matriz inversa.
2 -3 | 1 0
-3 5 | 0 1
Dividimos la primera por 2 y la segunda por 3
1 -3/2 | 1/2 0
-1 5/3 | 0 1/3
Sumamos primera y segunda
1 -3/2 | 1/2 0
0 -1/6 | 1/2 1/3
Multiplicamos la segunda por -6
1 -3/2 | 1/2 0
0 1| 3 2
La segunda la multiplicamos por 3/2 y la sumamos a la primera (deberás hacer alguna cuenta a mano o mentalmente para verificar el resultado)
1 0 | 5 3
0 1 | 3 2
Y la matriz inversa es
5 3
3 2
Efectivamente, las he multiplicado para comprobar y el resultado es la matriz unidad.
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Imagino que el valor de las variables también lo querías hacer por Gauss-Jordan. Es que hay otra forma de hacerlo mediante matriz inversa y determinantes, es un método que en la práctica no se usa nunca, mientras que el de Gauss-Jodan es el oficial. Ahora pondremos al lado los coeficientes libres y haremos en ellos lo mismo que en la izquierda.
2 -3 | 14
-3 5 | -22
Antes dividí la primera por dos y la tercera por tres para avanzar dos pasos. Normalmente se hace solo lo primero
1 -3/2 | 7
-3 5 | -22
Ahora se multiplica la primera por tres y se suma a la segunda
1 -3/2 | 7
0 5-9/2 | -1
..
1 -3/2 | 7
0 1/2 | -1
Multiplicamos por 2 la segunda
1 -3/2 | 7
0 1 | - 2
Multiplicamos por 3/2 la segunda y la sumamos a la primera
1 0 | 7-3=4
0 1 | -2
Y las soluciones son x=4 e y=-2
Y lo verifico y en efecto es la solución.