Determina: 1. La matriz inversa con el método de Gauss-Jordan. 2. El valor de las variables.

El método de Gauss-Jordan consiste en poner a la derecha una matriz identidad y hacer las mismas operaciones en las dos matrices y cuando a la izquierda lleguemos a la identidad tendremos en la derecha la matriz inversa.

$$\begin{pmatrix}
2&-3&|&1&0\\
-3&5&|&0&1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&-\frac{3}{2}&|&\frac{1}{2}&0\\
-3&5&|&0&1
\end{pmatrix}\sim
\\
\begin{pmatrix}
1&-\frac{3}{2}&|&\frac{1}{2}&0\\
0&5-\frac{9}{2}&|&\frac 32&1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&-\frac{3}{2}&|&\frac{1}{2}&0\\
0&\frac 12&|&\frac 32&1
\end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix}
1&-\frac{3}{2}&|&\frac{1}{2}&0\\
0&1&|&3&2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&0&|&\frac{1}{2}+3 ·\frac 32&2·\frac 32\\
0&1&|&3&2
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
1&0&|&5 &3\\
0&1&|&3&2
\end{pmatrix}$$

Lo de la derecha es la matriz inversa

Y ahora si tenemos un sistema

AX=B

y conocemos A^-1 podemos hacer

(A^-1)AX = (A^-1)B

X = (A^-1)B

$$X=\begin{pmatrix}
5&3\\
3&2
\end {pmatrix}·
\begin {pmatrix}
14\\
-22
\end {pmatrix}=
\\
\begin{pmatrix}
5·14-3·22\\
3·14-2·22
\end {pmatrix}=
\begin{pmatrix}
4\\
-2
\end {pmatrix}$$

Luego la respuesta es

x=4

y=-2

Y eso es todo.