Geometría en el espacio
Hola, tengo un problema con este problema:
Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta
r={x+3y-z=1 2x-y+5z=3
y es paralelo a
(x-1)/2=(y-3)/1=(z-8)/-3
Básicamente es que no se ni por donde empezar, no solo es en este sino en los problemas de este tipo donde te piden hallar una ecuación del plano que pasa por dos rectas, ayar la ecuación de un plano que contenga una recta y sea paralelo a otro plano y cosas así,¿no hay ninguna especie de patrón a seguir o algún método para hacer estos problemas?. Muchas gracias
Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta
r={x+3y-z=1 2x-y+5z=3
y es paralelo a
(x-1)/2=(y-3)/1=(z-8)/-3
Básicamente es que no se ni por donde empezar, no solo es en este sino en los problemas de este tipo donde te piden hallar una ecuación del plano que pasa por dos rectas, ayar la ecuación de un plano que contenga una recta y sea paralelo a otro plano y cosas así,¿no hay ninguna especie de patrón a seguir o algún método para hacer estos problemas?. Muchas gracias
1 respuesta
Respuesta de lowpass
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Por desgracia no hay método general para estos problemas. Para resolverlos tienes que hacer un puzzle que cambia cada vez. Lo importante es saber "ver" qué piezas tienes y qué hacer con ellas:
- Si te dan un plano: puedes obtener su vector normal y un punto cualquiera del plano.
- Si te dan dos vectores de un plano: el vector normal al plano se halla multiplicando VECTORIALMENTE ambos vectores.
- Si te dan una recta: tendrás su vector director y al menos un punto por el que pase.
Ahora bien, necesitarás saber las relaciones de paralelismo y perpendicular:
- Dos vectores son paralelos si su producto vectorial es nulo, o bien si uno es múltiplo del otro.
- Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es nulo.
- Dos rectas son paralelas/perpendiculares si lo son sus vectores directores
- Dos planos son paralelos/perpendiculares si lo son sus vectores normales
- Una recta es paralela a un plano si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano.
- Una recta es perpendicular a un plano si es paralela al vector normal al plano.
- Una recta pertenece a un plano si es paralela a él y además un punto cualquiera de la recta pertenece al plano.
Todo esto así puesto es engorroso, la única manera es hacerte un buen dibujo del problema, intentar verlo, y MUCHA PRÁCTICA. Cuando hallas resuelto veinte problemas de éstos, el que hace veintiuno te resultará obvio nada más leer el enunciado.
Como ejemplo te indicaré cómo resolver el tuyo (por favor no me pidas que te lo resuelva yo entero si no es estrictamente necesario, no es esa mi función):
s: (x-1)/2=(y-3)/1=(z-8)/-3 es la ecuación de una recta (en realidad es la ecuación de dos planos que se cortan en una recta). De aquí tienes que saber obtener el vector director de la recta.
Ahora sabes que el plano que buscas:
- Contiene a la recta r, luego es paralelo a ella
- Es paralelo a la recta s.
Método Bruto: Ya tienes datos suficientes. Llama V=(x0, y0, z0) al vector normal del plano que buscas y aplica los datos que tienes:
- Paralelo a la recta s (que tiene vector director S): V·S=0
- Paralelo a la recta r (con vector director R): V·R=0
Te sale un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, que tendrá infinitas soluciones; cualquiera de ellas te dará un vector normal válido. Ahora solo tienes que escoger un punto cualquiera de la recta r, y hacer que el plano pase por ese punto.
Método Elegante: Como el plano es paralelo a las dos rectas, su vector normal será perpendicular a las dos rectas.
Coge los vectores directores de las dos rectas. Multiplícalos vectorialmente, y el resultado (que por fuerza es perpendicular a ambos vectores) es el vector normal al plano que buscas. Sólo queda hacer que contenga a la recta r, para eso coge un punto cualquiera de esa recta; con el punto y el vector normal obtienes la ecuación del plano.
Te costará trabajo las primeras veces, pero créeme, si te haces buenos dibujos que te ayuden aprenderás enseguida a "ver" estos problemas y te resultarán fáciles.
¡Suerte y ánimo!
- Si te dan un plano: puedes obtener su vector normal y un punto cualquiera del plano.
- Si te dan dos vectores de un plano: el vector normal al plano se halla multiplicando VECTORIALMENTE ambos vectores.
- Si te dan una recta: tendrás su vector director y al menos un punto por el que pase.
Ahora bien, necesitarás saber las relaciones de paralelismo y perpendicular:
- Dos vectores son paralelos si su producto vectorial es nulo, o bien si uno es múltiplo del otro.
- Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es nulo.
- Dos rectas son paralelas/perpendiculares si lo son sus vectores directores
- Dos planos son paralelos/perpendiculares si lo son sus vectores normales
- Una recta es paralela a un plano si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano.
- Una recta es perpendicular a un plano si es paralela al vector normal al plano.
- Una recta pertenece a un plano si es paralela a él y además un punto cualquiera de la recta pertenece al plano.
Todo esto así puesto es engorroso, la única manera es hacerte un buen dibujo del problema, intentar verlo, y MUCHA PRÁCTICA. Cuando hallas resuelto veinte problemas de éstos, el que hace veintiuno te resultará obvio nada más leer el enunciado.
Como ejemplo te indicaré cómo resolver el tuyo (por favor no me pidas que te lo resuelva yo entero si no es estrictamente necesario, no es esa mi función):
s: (x-1)/2=(y-3)/1=(z-8)/-3 es la ecuación de una recta (en realidad es la ecuación de dos planos que se cortan en una recta). De aquí tienes que saber obtener el vector director de la recta.
Ahora sabes que el plano que buscas:
- Contiene a la recta r, luego es paralelo a ella
- Es paralelo a la recta s.
Método Bruto: Ya tienes datos suficientes. Llama V=(x0, y0, z0) al vector normal del plano que buscas y aplica los datos que tienes:
- Paralelo a la recta s (que tiene vector director S): V·S=0
- Paralelo a la recta r (con vector director R): V·R=0
Te sale un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, que tendrá infinitas soluciones; cualquiera de ellas te dará un vector normal válido. Ahora solo tienes que escoger un punto cualquiera de la recta r, y hacer que el plano pase por ese punto.
Método Elegante: Como el plano es paralelo a las dos rectas, su vector normal será perpendicular a las dos rectas.
Coge los vectores directores de las dos rectas. Multiplícalos vectorialmente, y el resultado (que por fuerza es perpendicular a ambos vectores) es el vector normal al plano que buscas. Sólo queda hacer que contenga a la recta r, para eso coge un punto cualquiera de esa recta; con el punto y el vector normal obtienes la ecuación del plano.
Te costará trabajo las primeras veces, pero créeme, si te haces buenos dibujos que te ayuden aprenderás enseguida a "ver" estos problemas y te resultarán fáciles.
¡Suerte y ánimo!
