La circunferencia, más complicadita
Hola de nuevo!
El asunto ahora es el siguiente: necesito dividir la circunferencia en 24 segmentos iguales (pueden ser más o menos, pero en principio serian esos aunque eso es variable). La imagen seria así, quiero transformar la circunferencia en 24 de sus cuerdas.
Yo tengo que recorrer el eje "x" deteniéndome en 11 puntos (cada punto "x" me da dos "y"), y sumando los 2 extremos del diámetro tendría los 24 puntos. Así obtendría los 24 "xy" de la circunferencia que serian los extremos de los segmentos.
El asunto es que necesito que todos los segmentos sean iguales, es decir, si yo divido el eje "x" en 11 puntos equidistantes, los segmentos sobre la circunferencia no quedan todos iguales; quedan más largos sobre los extremos y más cortos sobre el "cenit".
Lo que necesito es el algoritmo de incremento-decremento de "x", para que tanto la cuerda que proyecto desde x1-x2 sea igual que la que proyecto desde x2-x3.
A ver si puedo ponerlo en forma más gráfica:
Tengo el eje X. "xo" seria la intersección del eje "x" con la circunferencia, a ese punto le llamo "A".
Tomo un segundo punto sobre el eje X, "x1"; por "x1" pasan dos puntos que cortan la circunferencia; los llamo B y B'. Tomo un tercer punto sobre el eje X, "x2"; en x2 obtengo los puntos C y C' sobre la circunferencia.
Lo que yo necesito es tomar los x1, x2,..., xn tales que los segmentos AB, BC, CD... Etc sean iguales entre sí (AB', B'C', etc también)
Bueno, si no fui muy claro, decime y vuelvo a preguntar =)
Gracias!
Leo.
El asunto ahora es el siguiente: necesito dividir la circunferencia en 24 segmentos iguales (pueden ser más o menos, pero en principio serian esos aunque eso es variable). La imagen seria así, quiero transformar la circunferencia en 24 de sus cuerdas.
Yo tengo que recorrer el eje "x" deteniéndome en 11 puntos (cada punto "x" me da dos "y"), y sumando los 2 extremos del diámetro tendría los 24 puntos. Así obtendría los 24 "xy" de la circunferencia que serian los extremos de los segmentos.
El asunto es que necesito que todos los segmentos sean iguales, es decir, si yo divido el eje "x" en 11 puntos equidistantes, los segmentos sobre la circunferencia no quedan todos iguales; quedan más largos sobre los extremos y más cortos sobre el "cenit".
Lo que necesito es el algoritmo de incremento-decremento de "x", para que tanto la cuerda que proyecto desde x1-x2 sea igual que la que proyecto desde x2-x3.
A ver si puedo ponerlo en forma más gráfica:
Tengo el eje X. "xo" seria la intersección del eje "x" con la circunferencia, a ese punto le llamo "A".
Tomo un segundo punto sobre el eje X, "x1"; por "x1" pasan dos puntos que cortan la circunferencia; los llamo B y B'. Tomo un tercer punto sobre el eje X, "x2"; en x2 obtengo los puntos C y C' sobre la circunferencia.
Lo que yo necesito es tomar los x1, x2,..., xn tales que los segmentos AB, BC, CD... Etc sean iguales entre sí (AB', B'C', etc también)
Bueno, si no fui muy claro, decime y vuelvo a preguntar =)
Gracias!
Leo.
1 Respuesta
Respuesta de dianahuerta
1
Entiendo perfectamente tu problema. Por cierto, que es un problema precioso.
En estos momentos no estoy cerca de mis libros (necesito una fórmula que no recuerdo), pero te cuento cómo se hace por si puedes ir adelantando algo.
Los puntos que tú buscas son: A (conocido), x1, x2,..., x11 y -A (conocido también). O sea, de los 13 puntos conoces los extremos (A y -A), por conocer el radio de la circunferencia y su centro.
Vamos a centrarnos en la parte superior de la circunferencia. Con eso bastará para hacer los cálculos.
La longitud total de la circunferencia es 2*pi*R, pero como sólo estamos considerando la mitad, entonces es pi*R.
Queremos que cada arco (AB, BC, CD, etc...) mida lo mismo. Como queremos que haya 12, cada arco tendrá que medir pi*R/12.
Bueno, pues ahora hay que calcular la integral entre A y x1 de la función "longitud de una curva" (esto es lo que tengo que mirar en mis libros) e igualarla a pi*R/12. La incógnita de esta ecuación es x1, que sólo interviene cuando ya has hecho la integral y sustituyes por los límites de integración.
Cuando conozcas x1, calculas la misma integral, pero con límites de integración x1 y x2. En este caso, la incógnita es x2.
Y así sucesivamente. De este modo obtendrías los puntos que necesitas que, por supuesto, no son equidistantes.
Dime, por favor, si esto se entiende bien. Cuando tenga mis libros, te paso la fórmula de la longitud de una curva y ya lo tendrías.
En estos momentos no estoy cerca de mis libros (necesito una fórmula que no recuerdo), pero te cuento cómo se hace por si puedes ir adelantando algo.
Los puntos que tú buscas son: A (conocido), x1, x2,..., x11 y -A (conocido también). O sea, de los 13 puntos conoces los extremos (A y -A), por conocer el radio de la circunferencia y su centro.
Vamos a centrarnos en la parte superior de la circunferencia. Con eso bastará para hacer los cálculos.
La longitud total de la circunferencia es 2*pi*R, pero como sólo estamos considerando la mitad, entonces es pi*R.
Queremos que cada arco (AB, BC, CD, etc...) mida lo mismo. Como queremos que haya 12, cada arco tendrá que medir pi*R/12.
Bueno, pues ahora hay que calcular la integral entre A y x1 de la función "longitud de una curva" (esto es lo que tengo que mirar en mis libros) e igualarla a pi*R/12. La incógnita de esta ecuación es x1, que sólo interviene cuando ya has hecho la integral y sustituyes por los límites de integración.
Cuando conozcas x1, calculas la misma integral, pero con límites de integración x1 y x2. En este caso, la incógnita es x2.
Y así sucesivamente. De este modo obtendrías los puntos que necesitas que, por supuesto, no son equidistantes.
Dime, por favor, si esto se entiende bien. Cuando tenga mis libros, te paso la fórmula de la longitud de una curva y ya lo tendrías.
Hola!
Te cuento que un ratito antes de que me contestaras pude resolver el problema. De todos modos estuve mirando tu solución, a ver si era un poco más simple... pero en cuanto vi las integrales, me asuste =)
Yo lo hice más o menos así:
Tengo "O", el centro de la circunferencia; "M", la intersección con la circunferencia de un segmento que trazo desde "O", y "A", que vendría a ser la perpendicular al diámetro, trazada desde el punto "M".
Si quiero dividir la circunferencia en 24 segmentos, tengo 24 triángulos OMA. Cada triangulo tiene un angulo el "O" conocido; el primero de 15º, el segundo de 30º, el tercero de 45º... todo así (360º dividido 24 me da 15º por segmento). Entonces lo que hago es, por cada angulo, calculo su coseno (y lo multiplico por el radio si el radio es diferente a 1), y esto me da el tamaño del segmento OA. Si el centro de la circunferencia es (0,0), OA es el valor del punto "x" para el que luego calculo el valor de "y" con la ecuación que me diste. Si no fuera el punto O, O le sumo el valor de Pero (y digo "le sumo" porque el coseno de cada angulo varia desde - a +). Con una pasada de 0 a 180 grados obtengo todos los puntos.
Espero que haya quedado clara mi explicaciòn =)
Saludos y gracias!
Leo.
Te cuento que un ratito antes de que me contestaras pude resolver el problema. De todos modos estuve mirando tu solución, a ver si era un poco más simple... pero en cuanto vi las integrales, me asuste =)
Yo lo hice más o menos así:
Tengo "O", el centro de la circunferencia; "M", la intersección con la circunferencia de un segmento que trazo desde "O", y "A", que vendría a ser la perpendicular al diámetro, trazada desde el punto "M".
Si quiero dividir la circunferencia en 24 segmentos, tengo 24 triángulos OMA. Cada triangulo tiene un angulo el "O" conocido; el primero de 15º, el segundo de 30º, el tercero de 45º... todo así (360º dividido 24 me da 15º por segmento). Entonces lo que hago es, por cada angulo, calculo su coseno (y lo multiplico por el radio si el radio es diferente a 1), y esto me da el tamaño del segmento OA. Si el centro de la circunferencia es (0,0), OA es el valor del punto "x" para el que luego calculo el valor de "y" con la ecuación que me diste. Si no fuera el punto O, O le sumo el valor de Pero (y digo "le sumo" porque el coseno de cada angulo varia desde - a +). Con una pasada de 0 a 180 grados obtengo todos los puntos.
Espero que haya quedado clara mi explicaciòn =)
Saludos y gracias!
Leo.
Entra en el enlace http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/teoria_integral.htm y busca "longitud". Encontrarás la integral que te da la longitud de una curva.
Espero que esto complete a la respuesta anterior. Si tienes cualquier problema, coméntamelo.
Espero que esto complete a la respuesta anterior. Si tienes cualquier problema, coméntamelo.
