Anónimo
Coordenadas esféricas. Ángulo de latitud de la esfera
Tengo una duda respecto al ángulo de latitud de la esfera en coordenadas esféricas. Por ejemplo, en un libro me pone que tomando:
x=rcosOsenY
y=rsenOsenY
z=rcosY
Siendo:
O -> ángulo longitud
Y-> Ángulo latitud
Si queremos integrar en una esfera entera el intevalo de integración de la latitud (Y) es [0,Pi].
Sin embargo en mis apuntes pone que tomando:
x=rcosOcosY
y=rsenOcosY
z=rsenY
Y con estas coordenadas, integrando en una esfera también, igual que antes, el intervalo de integración de la latitud (Y) es [-Pi/2, Pi/2]. Y en otro caso de mis apuntes, tomando estas últimas coordenadas e integrando en S={(x,y,z)€R^3: x^2+y^2+z^2=1,x<0,y>0} el intervalo del ángulo de latitud (Y) es [-Pi/2,Pi/2]...
Pues bien, no me cuadrada nada, ya no se ni que coordenadas coger si las del libro, o las de los apuntes, me parece que son equivalentes las dos formas que he puesto, pero creo que cambia el ángulo del intervalo a integrar, no se si tengo algo mal apuntado, y no entiendo bien lo de que para una esfera entera sea entre 0 y Pi y para media sea entre -Pi/2 y Pi/2.
@.@ Q liooo!!
x=rcosOsenY
y=rsenOsenY
z=rcosY
Siendo:
O -> ángulo longitud
Y-> Ángulo latitud
Si queremos integrar en una esfera entera el intevalo de integración de la latitud (Y) es [0,Pi].
Sin embargo en mis apuntes pone que tomando:
x=rcosOcosY
y=rsenOcosY
z=rsenY
Y con estas coordenadas, integrando en una esfera también, igual que antes, el intervalo de integración de la latitud (Y) es [-Pi/2, Pi/2]. Y en otro caso de mis apuntes, tomando estas últimas coordenadas e integrando en S={(x,y,z)€R^3: x^2+y^2+z^2=1,x<0,y>0} el intervalo del ángulo de latitud (Y) es [-Pi/2,Pi/2]...
Pues bien, no me cuadrada nada, ya no se ni que coordenadas coger si las del libro, o las de los apuntes, me parece que son equivalentes las dos formas que he puesto, pero creo que cambia el ángulo del intervalo a integrar, no se si tengo algo mal apuntado, y no entiendo bien lo de que para una esfera entera sea entre 0 y Pi y para media sea entre -Pi/2 y Pi/2.
@.@ Q liooo!!
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Yo no recuerdo como me lo enseñaron a mí. Pero he mirado en dos libros que tengo y en la wikipedia, y no hay un criterio uniforme. Tu misma puedes mirar en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esféricas
Y te habla de que en Estados Unidos se usa un sistema y en el resto otro.
Todos los sistemas que he encontrado escritos tienen en común que el ángulo que mide la latitud comienza en el eje Z y se extiende hasta el punto, por eso cumplen siempre que
Por = Ro · cos(ángulo longitud) · sen(ángulo latitud)
Y = Ro · sen(ángulo longitud) · sen(ángulo latitud)
z = Ro · cos (ángulo latitud)
Lo de tus apuntes rompe esa tónica ya que en el angulo latitud intercambias el papel de los senos y coseno. Eso solo tiene una explicación, y es que el ángulo latitud se empieza a contar desde el plano z = 0 hasta el punto. Por tanto su dominio no es [0,PI], debe ser [-PI/2, PI/2] como parece que quieres decir.
A mi me gusta este sistema, lo veo más natural, es el que se corresponde con la longitud y latitud terrestre tal como nos la han enseñado.
Entonces puedes usar tanto un sistema como otro, pero teniendo muy clara la interpretación espacial de cada sistema para saber cuáles serán los límites de integración.
Si vas a integrar la esfera completa completa los límites serán los mismos que los del sistema de coordenadas.
Si vas a integrar la semiesfera superior los límites serán [0,2PI] en longitud y [0, PI/2] en latitud.
Si vas a integrar la semiesfera derecha sería [0, PI] en longitud y [-PI/2, PI/2] con las coordenadas de los apuntes o [0, PI] con las otras.
Pero no se trata de que te dé un listado de opciones, lo que hace falta es que entiendas que ángulos debes utilizar en el sistema de coordenadas que uses para que se recorra el objeto a integrar.
Y eso es todo. Espero que te haya servido algo. No ollvides puntuar si te quedó claro y si no puedes preguntar más.
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esféricas
Y te habla de que en Estados Unidos se usa un sistema y en el resto otro.
Todos los sistemas que he encontrado escritos tienen en común que el ángulo que mide la latitud comienza en el eje Z y se extiende hasta el punto, por eso cumplen siempre que
Por = Ro · cos(ángulo longitud) · sen(ángulo latitud)
Y = Ro · sen(ángulo longitud) · sen(ángulo latitud)
z = Ro · cos (ángulo latitud)
Lo de tus apuntes rompe esa tónica ya que en el angulo latitud intercambias el papel de los senos y coseno. Eso solo tiene una explicación, y es que el ángulo latitud se empieza a contar desde el plano z = 0 hasta el punto. Por tanto su dominio no es [0,PI], debe ser [-PI/2, PI/2] como parece que quieres decir.
A mi me gusta este sistema, lo veo más natural, es el que se corresponde con la longitud y latitud terrestre tal como nos la han enseñado.
Entonces puedes usar tanto un sistema como otro, pero teniendo muy clara la interpretación espacial de cada sistema para saber cuáles serán los límites de integración.
Si vas a integrar la esfera completa completa los límites serán los mismos que los del sistema de coordenadas.
Si vas a integrar la semiesfera superior los límites serán [0,2PI] en longitud y [0, PI/2] en latitud.
Si vas a integrar la semiesfera derecha sería [0, PI] en longitud y [-PI/2, PI/2] con las coordenadas de los apuntes o [0, PI] con las otras.
Pero no se trata de que te dé un listado de opciones, lo que hace falta es que entiendas que ángulos debes utilizar en el sistema de coordenadas que uses para que se recorra el objeto a integrar.
Y eso es todo. Espero que te haya servido algo. No ollvides puntuar si te quedó claro y si no puedes preguntar más.
Valee, me queda más claro, pero entonces porque para las coordenadas del libro, y las que están en internet, ¿la esfera entera se integra entre 0 y Pi y la media esfera derecha también entre 0 y Pi?
Gracias por la aclaración anterior!
Gracias por la aclaración anterior!
El lío viene de que no haya un sistema único y por eso el mismo problema tiene diferentes formas de resolverse en un sistema u otro, aunque el resultado sea el mismo. Porque si no fuera el mismo sería el acabose de las matemáticas.
Tienes que fijarte que ángulos Fi y Theta abarca la semiesfera de acuerdo al sistema que estés utilizando. Como el sistema no es único, estos límites pueden ser distintos. Fíjate también que los límites de integración son dos pares, porque podría darse incluso que la amplitud de uno de los ángulos fuera el doble en un sistema que en otro, en ese caso el otro ángulo debería ser la mitad para compensar. Y en el caso que me dices uno de los ángulos es el mismo para la esfera y la semiesfera, pero el otro debe ser la mitad para la semiesfera que para la esfera entera.
Y resumiendo, que debes tener muy claro cuál es el sistema que empleas, de dónde a dónde se miden los ángulos y qué dominio tienen. Sabiendo eso no tendrías que tener problemas en decidir cuáles serán los límites de integración de una semiesfera, un cilindro o lo que se ponga por delante.
Ya sé que es lioso, pero espero que lo vayas entendiendo.
Tienes que fijarte que ángulos Fi y Theta abarca la semiesfera de acuerdo al sistema que estés utilizando. Como el sistema no es único, estos límites pueden ser distintos. Fíjate también que los límites de integración son dos pares, porque podría darse incluso que la amplitud de uno de los ángulos fuera el doble en un sistema que en otro, en ese caso el otro ángulo debería ser la mitad para compensar. Y en el caso que me dices uno de los ángulos es el mismo para la esfera y la semiesfera, pero el otro debe ser la mitad para la semiesfera que para la esfera entera.
Y resumiendo, que debes tener muy claro cuál es el sistema que empleas, de dónde a dónde se miden los ángulos y qué dominio tienen. Sabiendo eso no tendrías que tener problemas en decidir cuáles serán los límites de integración de una semiesfera, un cilindro o lo que se ponga por delante.
Ya sé que es lioso, pero espero que lo vayas entendiendo.